【2017年整理】1三角形单元有限元.ppt

结构有限元法;主讲：熊世树;第1章 三角形常应变单元的有限元法 第2章 有限元程序设计与分析软件 第3章 平面问题高阶单元的有限元法 第4章 空间实体的有限元法 第5章 杆系结构的有限元法 第6章 板壳问题的有限元法 第7章 结构动力问题的有限元法 第8章 弹塑性问题的有限元法; 第1章 三角形单元的有限元法; 把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离散结构的平衡和变形协调。 划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。;有限元法主要优点：;1.1.1 有限元法的分析步骤 （1）结构离散化：用点、线或面把结构剖分为有限个离散单元体，并在单元指定点设置节点。研究单元的平衡和变形协调，形成单元平衡方程。;（2）单元集合：把所有离散的有限个单元集合起来代替原结构，形成离散结构节点平衡方程。;1.1.2 有限元法分析思路流程;（1-1）;图1-1;5、单元内任意点的应力列阵???;7、物理方程矩阵式;(1-9）;1.3 位移函数和形函数; 不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍以平面问题三角形单元（图1-2）为例，说明设定位移函数的有关问题。; 本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点位移的关系）为简单多项式：;选取位移函数应考虑的问题 ; （4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。 ; （7）位移函数的形式 一般选为完全多项式。为实现（4）—（6）的要求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由度数。;例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。;①、②、③、④单元的位移函数都是;3、形函数;从式(1-13）左边3个方程中解出待定系数a1、a2、a3为 ;式中， A为三角形单元的面积，有 ;(1-16）;(1-16）;(1-16）; 形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：;（i、j、m）;x;性质3 在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有 ;性质4 形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为 ;对位移函数（式(1-16））;上式简写一般式： ; 2、单元应力;(1-30）;(1-32）;1.5 单元平衡方程;由于???和???T是常量，提到积分号外，上式可写成 ; 1.6节中将明确[k]的力学意义是单元刚度矩阵。式(1-33）便是计算单元刚度矩阵的基本矩阵式。它适合于各种类型的单元。; （1） 体积力势能;注意到式(1-20）; 现在，只考虑弹性体边界上的表面力，它只在部分单元上形成表面力（右下图）。设边界面上单位面积受到的表面力如下式：; （3） 集中力势能; （4）总势能; 由单元的应变能U(1-34）和外力势能V(1-36），可得单元的总势能?;式(1-38）是从能量原理导出的单元平衡方程。这个方程表达了单元力与单元位移之间的关系。其中，?Fd?和单元节点力?F?具有相同的意义。 ;它与单元应变矩阵[B]和弹性矩阵[D]有关。; 将式(1-9）和(1-26）代入上式，;式(1-40)中子矩阵[krs]为2×2矩阵，有 ;(1-42）;i;i;(1-38）;（2）[k]的每一行或每一列元素之和为零;（3）[k]是对称矩阵 由[k]各元素的表达式，可知[k]具有对称性。 ;证明;（4）单元刚度矩阵是奇异矩阵 即[k]的行列式为零（由行列式性质） 。 单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的。单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必定是平衡力系。然而，研究单元平衡时没有引入约束。承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定的，但位移不是确定的。所以出现性质（3）中的“平动问题”，即单元可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，方程(1-28）的解不是唯一的或不能确定的。由此，单元刚度矩阵一定是奇异的。;4、例：平面应力直角三角形单元刚度矩阵; 第一步：计算bi、ci和单元 面积A。 ; 第二步：求子矩阵 由式(1-41），算得 ;(1-43a） ;i、j、m表示单元中3个节点在结构系统中的编号。 ;1.7 等价节点力;(1-44）; 3、等价节点力计算举例;注意到形函数的性质4：;(1-47）;（2）均布面力;注意到形函数性质4 ：; 式(1-48