76第六节空间向量及其运算(理)练习题(2015年高考总复习).doc

第六节　空间向量及其运算(理) 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析　显然＝＋＝(－)＋＝－a＋b＋c，故选A. 答案　A 2．已知O，A，B，C为空间四个点，又，，为空间的一组基底，则(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 解析　，，为空间的一组基底，所以，，不共面，但A，B，C三种情况都有可能使，，共面． 答案　D 3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于(　　) A. B. C. D. 解析　由于a，b，c三向量共面． 所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb， 即有解得m＝，n＝，λ＝.故选D. 答案　D 4．正方体不在同一表面上的两个顶点为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积为(　　) A．8 B．27 C．64 D．128 解析　由于A，B是正方体上不共面的两个顶点，则A，B必为正方体一对角线的两顶点，由于|AB|＝ ＝4，故正方体的边长为4，体积为43＝64.故选C. 答案　C 5．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．不确定 解析　方法1：如图所示，在空间四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，得三棱锥A—BCD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体， 正四面体的对棱互相垂直， ·＝0，·＝0，·＝0. ·＋·＋·＝0.故选B. 方法2：在方法1的图中，选取不共面的向量，，为基底，则原式＝·(－)＋·(－)＋·(－)＝·－·＋·－·＋·－·＝0.故选B. 答案　B 6．如图所示，已知空间四边形OABC中，|OB|＝|OC|，且AOB＝AOC，则，夹角θ的余弦值为(　　) A．0 B. C. D. 解析　设＝a，＝b，＝c. 由已知条件AOB＝AOC，且|b|＝|c|， ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ＝|a||c|cosAOC－|a||b|cosAOB＝0， cosθ＝0.故选A. 答案　A 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是________． 解析　设P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)， ＝(－1－x,3－y,4－z)， 由＝2知x＝－，y＝，z＝3，故P. 由两点间距离公式可得||＝. 答案　 8．如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若＝λ(＋)，则λ＝________. 解析　如图所示，取AC的中点G， 连接EG，GF， 则＝＋＝(＋)， λ＝. 答案　 9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为__________． 解析　设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝. 答案　 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，ab，bc，求： (1)a，b，c； (2)(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值． 解　(1)因为ab，所以＝＝， 解得x＝2，y＝－4， 这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)． 又因为bc，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0， 解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)． (2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)， 设(a＋c)与(b＋c)所成角为θ， 因此cosθ＝＝－. 11．(2014·江门质检)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3)＋. 解　(1)P是C1D1的中点， ＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋c＋b. (2)N是BC的中点， ＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3)M是AA1的中点， ＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. 又＝＋＝＋ ＝＋＝c＋a， ＋＝＋ ＝a＋b＋c. 12．(2013·重庆卷)如图所示，四棱锥P—ABCD中，PA底面ABCD，BC＝C