9讲 q,Q,M之间的微分关系及其应用.ppt

* * 第九讲 q，Q，M之间的关系及其应用 湖南理工学院——曾纪杰 一 q，Q，M之间的关系: 考察受任意载荷作用的梁。建立xy坐标系。 规定向上的q(x)为正。 y x A B q(x) 考察dx微段的受力与平衡 Q(x) Q(x)+dQ(x) M(x) M(x)+dM(x) x y x dx o q(x) 上式的物理意义：梁上任一横截面上的剪力　　对x的一阶导数　　　，等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度　　。 上式的几何意义：任一横截面上的分布荷载集度　　，就是剪力图上相关点处的斜率。 FQ(x) FQ(x)+dFQ(x) M(x) M(x)+dM(x) x y x dx o q(x) 略去二阶微量 ，得： 上式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩　　对x的一阶导数　　　，等于该截面上的剪力　　。 上式的几何意义：任一横截面处的剪力　　，就是弯矩图上相关点处的斜率。 FQ(x) FQ(x)+dFQ(x) M(x) M(x)+dM(x) x y x dx o q(x) c 上式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩　　对x的二阶导 数　　　　，等于同一截面处作用在梁上的分布荷载集度　　 数学上：二阶导数可用来判定曲线的凹向，因此： 上式的几何意义：可以根据　　对x的二阶导数的正、负来定出　　 图的凹向。 二 内力FQ 、M 的变化规律,归纳如下： 载荷 F 水平直线 + - or or 上斜直线 上凸 抛物线 下凸 抛物线 下斜直线 F (剪力图 无突变) F处有尖角 斜直线  1．当梁上某段q=0时，该段剪力为常数，故剪力图为水平直线。相应的弯矩为x的一次函数，弯矩图为斜直线。当FQ＞0时，弯矩图为上升斜直线；FQ＜0时，弯矩图为下降斜直线。 2．当梁上某段q=常数时，该段剪力为x的一次函数，剪力图为斜直线。相应的弯矩为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。 若q＞0，则剪力图为上升斜直线，弯矩图为凹口向上的曲线（凹孤）； 若q＜0，则剪力图为下降斜直线，弯矩图为凹口向下的曲线（凸孤）。 3．在集中力作用处（包括支承处），剪力图将发生突变，其突变值等于该处集中力之大小。当集中力向上时，剪力图向上突变（沿x正向），反之，向下突变；而弯矩图将因该处两侧斜率不等出现拐点。 在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变（沿x正向），反之则向下突变，但剪力图在该处无变化。 例题1： 一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。 解： 1、根据平衡条件求支座反力 A B 1m 1m 4m F=3KN C D q=2KN/m  A B 1m 1m 4m F=3KN C D q=2KN/m 2、由微分关系判断各段的 形状。 载荷 CA DB AD 斜直线 斜直线  A B 1m 1m 4m F=3KN C D q=2KN/m 3、作 -图。 4、作M-图。 CA段： (-) DA段： -3KN 4.2KN -3.8KN (+) (-) DB段： -3KN.m E x -2.2KN.m 3.8KN.m (-) (-) (+) (+)  C A D B RA RB 例题2：外伸梁，受力如图，试画剪力图和弯矩图。 解：1. 求支座反力 20 15 Q／KN x o M／kNm O x 10 15 5 15 CA段：dQ／dx＝q（x）＜0， A点： RA＝35kn（ ），发生跳跃， AB段： B点： RB＝15kn（ ），发生跳跃， CA段： AD段： 2. 作剪力图、弯矩图 D点： MD＝20kn.m，发生跳跃（ ）。 DB段：  q(x) q(x)  例题  q(x) q(x) 例题 求做图示刚架的内力图 q L L A B C qL qL/2 qL/2