九年级二次函数与一元二次方程的联系及区别.doc

二次函数与一元二次方程的联系和区别 一、二次函数 1、自变量x和因变量y之间存在如下关系：? y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向） ①a0时，开口方向向上 ②a0时，开口方向向下 ③|a|还可以决定开口大小a绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大 ④一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 ⑤常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） ⑥抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = ,。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）? ⑦抛物线有一个顶点P，坐标为 P [， ]。当=0时，P在y轴上；当Δ= b-4ac=0时，P在x轴上。? 2、二次函数的两种表达式 ①一般式：y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)+k [抛物线的顶点P（h，k）] 3、抛物线与x轴交点个数 Δ= b-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。? 二、一元二次方程 y= ax+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax+bx+c=0 三、两者之间的联系 ①ax+bx+c=0,即为y= ax+bx+c，y=0时 ②方程的根x，x是使ax+bx+c为零的x的取值 ③x，x对应图像上是y =ax+bx+c函数与x轴交点的横坐标。 ④方程根的个数即是使ax+bx+c=0的x的个数即是y= ax+bx+c y=0,为y= ax+bx+c图像与x轴的交点个数。 ⑤可以同时利用△，方程用它来判断根的个数△=0方程两个相等的实根 △﹥0方程两个不等的实根 △﹤0方程无实根 函数用它来判断图像与x轴的交点个数 △=0图像一个（两个相等）交点 △﹥0方程两个不等的交点 △﹤0方程无交点 四、区别 ①说白了ax+bx+c=0就是y =ax+bx+c， y=0时的特例。我们研究函数是研究许多点组成的图像，研究方程是研究图像上至多一个或两个特殊的点。 ②函数和方程有区别，是整体概念与特殊的区别。学习时要联系起来，又不可以简单的混淆。 五、复习 1、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点,②有一个交点,③没有交点. 当二次函数y=ax +bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 练习 求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。 小结： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac????????? 即：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明： 1、△＞0 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点——相交 2、△=0 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根 3、△＜0 一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根 例二、3、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则由根与系数的关系可知 x1+x2=- x1x2= 若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ），则是否有同样的结论呢？ 结论：若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ）， 则x1+x2= ，x1x2= 六、基础训练 1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ； 2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 。 3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q=