第二节 涤爰数概念 .ppt

微积分讲义 设计制作 王新心 §3.2 导数概念 　　（一）导数的定义 　　（二）导数的几何意义 　　（三）左右导数 　　（四）可导与连续的关系 　　（一）导数的定义 第三章 导数与微分 个邻域内有定义， 当自变量在点　处取得改变 量　　　时， 　　【定义3.1】设函数　　　　在点　的某 函数　　取得相应的改变量 如果当　　　时， 　的极限存在， 即 第三章 导数与微分 存在， 导数（或微商）， 记作 则称此极限值为函数　　在点　处的 反映的是自变量　从 改变到　　　时， 函数　　的平均变化率； 而 反映的是点　处的变化率。 第三章 导数与微分 　　函数　　　　在点　　　处的导数的定义 其它形式 式为 第三章 导数与微分 　　函数　　　　在任意一点　处的导数为 令 第三章 导数与微分 　　例1　求函数　　　在点　　处的导数。 　　解　当　由　改变到　　　时， 函数改变 量为 第三章 导数与微分 　　实际意义（如图） 改变1个单位时， 　　当自变量　在点　　处 函数 改变4个单位。 反映函数在　　处的变化速度 第三章 导数与微分 则称函数 　　如果函数　　在点　处有导数， 否则称函数　　在点　处 不可导。 如果函数　　在某区间　　内每一点 处都可导， 则称函数　　在区间　　内可导， 此时， 　　的导数　　定义了一个新函数， 称 为函数　　　　在区间　　内对　的导函数， 简称为导数，记作 在点　处可导， 第三章 导数与微分 导数， 　　由导数的定义求函数　　　　在点　处的 　　（2）作出比值 概括为以下步骤： 数的改变量 　　（1）求出对应于自变量的改变量　 的函 　　（3）求　　　时， 的极限， 即 第三章 导数与微分 　　例2　求线性函数　　　　的导数 　　解 第三章 导数与微分 　　例3　求函数　　　的导数 　　解 第三章 导数与微分 　　例4　求函数　　　的导数 　　解 第三章 导数与微分 　　例5　已知函数 　　解 求 第三章 导数与微分 　　例6　讨论函数 　　解 在点　　处的连续性和可导性。 所以函数　　在点　　处连续。 不存在 所以函数　　在点　　处不可导。 　　（二）导数的几何意义 第三章 导数与微分 　　函数　　　　在点 　处的导数 就是 的切线的斜率。 曲线　　在点　　　　处 如图 第三章 导数与微分 　　由导数的几何意义和直线的点斜式方程， 可得曲线　　　　在点　　　处的切线方程 法线方程 第三章 导数与微分 　　说明　若 切线仍然存在， 曲线在　　　处的 切线方程 且垂直　轴 法线方程 　　若 曲线在　　　处 切线方程 法线方程 第三章 导数与微分 　　例7　求函数　　　在点　　处的切线方 程与法线方程。 　　解 则切线的 切线方程 即 法线方程 即 斜率为 第三章 导数与微分 　　例8　问曲线　　　哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线　　　　平行 ? 切线方程。 写出其 　　解 故在原点　　处有垂直切线 令 得 则在点　　　　 　处 切线与直线　　　　平行。 若有垂直切线 则 第三章 导数与微分 切线方程分别为 即 　　（三）左右导数 第三章 导数与微分 个邻域内有定义， 　　【定义3.2】设函数　　　　在点　的某 若　　　　　　　　　存在， 记作　　　； 称之为　　在　处的左导数， 若　　　　　　　　　存在， 称之为　　在 处的右导数， 记作　　　。 第三章 导数与微分 　　函数在某点可导的充分必要条件是 导数在该点都存在并且相等。 左右 　　可导的充要条件 　　函数　　在　　上可导， 指　　在开区间 内处处可导， 且存在　　　和　　　。 第三章 导数与微分 　　补充结论（左右导数的简单计算公式） （1）在　　　　　　　　　　　　上连续； 　　【定理】设函数　　满足下列条件： （2）在　　　　　　　　　内可导； （3）　　　　　　　　存在。 则右（左）导数为 重要 第三章 导数与微分 　　例9　问函数 在点 　　处是否可导？为什么？ 　　解　函数满足定理的条件 　　当　　时， 　　当　　时， 左、右导数不相等 应用简单计算公式 所以函数在　　处不可导。 第三章 导数与微分 　　（四）可导与连续的关系 　　【定理3.1】设函数　　　在点　处可导， 则它在点　处一定连续。 可导　　连续 　　证　因为函数在点 处可导， 所以有 即函数　　　　在点　处连续。 第三章 导数与微分 　　定理的逆定理不一定成立 连续　　可导 　　反例　函数 在　　处连续但不可导。 　　因为 连续是可导的必要非充分条件 不连续　　不可导 第三章 导数与微分 　　例10　讨论函数 在点　　　　　　　处的连续性和可导性。 　　解（1）在点　　处 因此，在　　处不连