第六章 第节 数学归纳法(理).ppt

化简，得bn＝ ∴{bn}是首项为 ，公比为 的等比数列， ∴Sn＋1＝(n＋1)2以下比较 与Sn＋1的大小： 当n＝1时 当n＝2时， 当n＝3时， 当n＝4时， 猜想：n≥4时， ＞Sn＋1. 下面用数学归纳法证明： ①当n＝4时，已证. ②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时， ＞Sk＋1， 即 ＞(k＋1)2，那么，n＝k＋1时， ＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1 ＞[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1， ∴n＝k＋1时， ＞Sn＋1也成立. 由①②可知n∈N*，n≥4时， ＞Sn＋1成立. 综上所述，当n＝1,2,3时， ＜Sn＋1， 当n≥4时， ＞Sn＋1. 3.设Sn是数列{ }的前n项的和. 是否存在关于正整数n的函数f(n)，使S1＋S2＋…＋Sn－1＝ f(n)(Sn－1)对于大于1的正整数n都成立？并证明你的结论； 解：假设存在f(n)，使等式成立. 当n＝2时，S1＝f(2)(S2－1)， 即1＝f(2)(1＋ －1)，解得f(2)＝2. 当n＝3时，S1＋S2＝f(3)(S3－1)， 即1＋1＋ ＝f(3)(1＋ －1)，∴f(3)＝3. 猜想f(n)＝n(n≥2). 下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式S1＋S2＋…＋Sn－1＝n(Sn－1)恒成立. ①当n＝2时，由上面计算知，等式成立. ②假设n＝k(k≥2)时，等式成立，即 S1＋S2＋…＋Sk－1＝k(Sk－1)， 则S1＋S2＋…Sk－1＋Sk＝k(Sk－1)＋Sk ＝(k＋1)Sk－k＝(k＋1)(Sk＋1－ )－k ＝(k＋1)Sk＋1－1－k＝(k＋1)(Sk＋1－1) 即n＝k＋1时，等式也成立. 由①②知，对一切n≥2，等式都成立. 故存在f(n)＝n，使S1＋S2＋…＋Sn－1＝f(n)(Sn－1)对大于1的正整数n都成立. 　 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一.纵观近几年的高考题，数学归纳法不可能在解答题中单独命题，往往与函数、不等式、数列结合命题.2009年安徽卷第21题利用数学归纳法确定参数范围，代表了一种新的命题方向. (2009·安徽高考)首项为正数的数列{an}满足an＋1＝ ＋3)，n∈N＋. (1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数； (2)若对一切n∈N＋都有an＋1＞an，求a1的取值范围. [解]　(1)证明：已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数， 则由递推关系得ak＋1＝ ＝m(m－1)＋1是奇数. 根据数学归纳法，对任何n∈N＋，an都是奇数. (2)法一：由an＋1－an＝ (an－1)(an－3)知，an＋1＞an当且仅当an＜1或an＞3. 若0＜ak＜1，则0＜ak＋1 若ak＞3，则ak＋1＞ 根据数学归纳法，0＜a1＜1?0＜an＜1，?n∈N＋，a1＞3?an＞3，?n∈N＋. 综合所述，对一切n∈N＋都有an＋1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3. 法二：由a2＝ 得 －4a1＋3＞0， 于是0＜a1＜1或a1＞3. 因为a1＞0，an＋1＝ ，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an与an－an－1同号. 根据数学归纳法，?n∈N＋，an＋1－an与a2－a1同号. 因此，对一切n∈N＋都有an＋1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3. 本题不能算是一道难题，但考生临场发挥的并不理想，主要存在以下问题. (1)基础知识不扎实，应用数学归纳法解题的意识不强，本题要解决的是“对一切n≥2”，对一切“n∈N＋”的情况.符合用数学归纳法解题的特征. (2)数学归纳法的解题步骤掌握不好，如解(1)题时没有注明a1是奇数，而这一步是归纳奠基，是应用数学归纳法的前提. (3)不能很好的应用归纳假设，特别是解(1)题时很多考生没能想到令ak＝2m－1，并用m表示出ak＋1. ? * 一、数学归纳法的适用对象 数学归纳法是用来证明关于与 有关命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是 ． 正整数n 使命题成立的最小正整数 二、数学归纳法的步骤 用数学归