高等量子力学课后题EX1.doc
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练习 1.1 试只用条件(1)~(8)证明,和。
(完成人:梁立欢 审核人:高思泽)
证明:由条件(5)、(7)得
只需证明和这两式互相等价
根据条件(7)
现在等式两边加上,得
根据条件(4),
上式左
根据条件(4)、(2)
上式右
由,根据条件(4)、(7)得
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练习 1.2 证明在内积空间中若对任意成立,则必有。
(完成人:谷巍 审核人:肖钰斐)
证明 由题意可知,在内积空间中若对任意成立,则有
,-,=0 (1)
于是有
(2)
由于在内积空间中对任意成立,则可取,则有
=0 成立 (3)
根据数乘的条件(12)可知,则必有
(4)
即
故命题成立,即必有.
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练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的?有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论?如有,试证明之。
(完成人:赵中亮 审核人:张伟)
解:矢量空间运算的12个条件是独立的。
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练习 1.4 (1)在第二个例子中若将加法的规定改为:和矢量的长度为二矢量长度之和,方向为二矢量所夹角的分角线方向,空间是否仍为内积空间?
(2)在第二个例子中若将二矢量内积的定义改为或,空间是否仍为内积空间?
(3)在第三个例子的空间中,若将内积的定义改为
空间是否仍为内积空间?
(4)在第四个例子的函数空间中,若将内积的定义改为
空间是否仍为内积空间?
(完成人:张伟 审核人:赵中亮)
解:(1)在第二个例子中若将加法的规定改变之后,空间不是内积空间。
因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元,如一个不为零的矢量设为,则任意矢量和它相加后,得到的矢量的长度不为零,所以一定不能得到零矢量,即找不到逆元。所以空间不是内积空间。
(2)在第二个例子中若将内积的定义改之后,空间不是一个内积空间。证明如下:
一般情况下,,即有
=
所以内积的定义改变之后不是内积空间。
(3)在第三个例子中若将内积的定义改之后,空间仍然是一个内积空间。证明如下:
i
ii.
iii.
iv.,对任意成立
若
综上所述,新定义的内积规则符合条件(9)—条件(12),所以仍为内积空间
(4)在第四个例子的函数空间中,若将内积的定义改为
后,空间不是内积空间。
因为,积分号内的函数是一个奇函数,它不能保证对于任意的积分出来后都大于零,即不符合条件(12),所以不是内积空间。
在第四个例子的函数空间中,若将内积的定义改为
后,空间是内积空间。
证明如下:
i
ii iii
iv
若,则必有
综上所述,新定义的内积规则符合条件(9)—条件(12),所以仍为内积空间。
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练习 1.5若a为复数,证明若时,Schwartz不等式中的等号成立。
(完成人:肖钰斐 审核人:谷巍)
证明:当若时,分别带入Schwartz不等式的左边和右边。
左边=
右边=
左边=右边,说明当时,Schwartz不等式中的等号成立。
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练习1.6 证明当且仅当 对一切数成立时,与正交。并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。
(完成人:赵中亮 审核人:张伟)
证明:解:当对一切数成立时,有
即
得
即
因为可以取一切数,所以当取纯虚数时,即
得
由此得只能是实数
当取非零实数时,即
只有时,即与正交时才成立
所以 当 对一切数成立时,与正交。
当与正交时,
则
取为任意数
则
得
即 对一切数成立
综上,当且仅当 对一切数成立时,与正交。
在三维位形空间中,这一命题的几何意义是:对角线相等的平行四边形是矩形。
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练习1.7 证明:当且仅当对一切数成立时,与正交。
(完成人:班卫华 审核人:何贤文)
证明:因为,两边平方得
则构成以为变量的二次函数,要使对一切成立,判别式恒小于等于零,
即
只需
即
得
所
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