高等数学教案1_函数与极限.doc

函数与极限 目录 第 I 条 §1. 1 映射与函数 I-4 节 1.01 一、集合 I-4 (a) 1. 集合概念 I-4 (b) 2. 集合的运算 I-4 (c) 3. 区间和邻域 I-5 节 1.02 二、映射 I-6 (a) 1. 映射的概念 I-6 节 1.03 三、函数 I-8 (a) 1. 函数概念 I-8 (b) 2. 函数的几种特性 I-9 (c) 3．反函数与复合函数 I-11 (d) 4. 函数的运算 I-12 (e) 5. 初等函数 I-13 第 II 条 §1( 2 数列的极限 II-15 第 III 条 §1( 3 函数的极限 III-20 节 3.01 一、函数极限的定义 III-20 1．自变量趋于有限值时函数的极限 III-20 2．自变量趋于无穷大时函数的极限 III-22 二、函数极限的性质 III-23 第 IV 条 §1( 4 无穷小与无穷大 IV-25 节 4.01 一、无穷小 IV-25 节 4.02 二、无穷大 IV-26 第 V 条 §1( 6 极限运算法则 V-28 第 VI 条 §1( 7极限存在准则 两个重要极限 VI-33 第 VII 条 §1( 8 函数的连续性与间断点 VII-37 节 7.01 一、函数的连续性 VII-37 节 7.02 二、函数的间断点 VII-39 第 VIII 条 §1(9 连续函数的运算与初等函数的连续性 VIII-40 节 8.01 一、连续函数的和、积及商的连续性 VIII-40 节 8.02 二、反函数与复合函数的连续性 VIII-41 节 8.03 三、初等函数的连续性 VIII-42 第 IX 条 §1( 10 闭区间上连续函数的性质 IX-44 (a) 一、最大值与最小值 IX-44 节 9.02 二、介值定理 IX-45 教学目的： 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 掌握基本初等函数的性质及其图形。 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 掌握极限的性质及四则运算法则。 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 复合函数及分段函数的概念； 基本初等函数的性质及其图形； 极限的概念极限的性质及四则运算法则； 两个重要极限； 无穷小及无穷小的比较； 函数连续性及初等函数的连续性； 区间上连续函数的性质。 教学难点： 分段函数的建立与性质； 左极限与右极限概念及应用； 极限存在的两个准则的应用； 间断点及其分类； 闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a(M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A({a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 A({a1, a2, ( ( (, an}, M({x | x具有性质P }. 例如M({(x, y)| x, y为实数, x2(y2(1}. 几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N({0, 1, 2, (?(?(, n, (?(?(}. N(({1, 2, (?(?(, n, (?(?(}. R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z({(?(?(, (n, (?(?(, (2, (1, 0, 1, 2, (?(?(, n, (?(?(}. Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 子集: 若x(A, 则必有x(B, 则称A是B的子集, 记为A(B(读作A包含于B)或B(A . 如果集合A与集合B互为子集, A(B且B(A, 则称集