2012高考数学高频考点突破：不等式的解法及其应用.ppt

解不等式的实质是等价转化，要将给出的不等式转化为一元一次、一元二次不等式来求解，要注意转化的等价性.要熟悉一元一次不等式，一元二次不等式的解法,对于分式不等式，一般按照移项——通分——化乘积转化为整式不等式来求解. 2012高考数学高频考点突破：不等式的解法及其应用 [例1]　已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集是B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于 　　 A．－3　　　　　　　　　　　B．1 C．－1 D．3 2 设a＝x2＋x＋2，x∈R，解不等式loga|x＋3| ＞loga 9－|x－2| ． [思路点拨]　 1 先求集合A、B，再利用A∩B求a、b. 2 本题可以根据对数函数的单调性，将对数不等式转化为代数不等式，再脱掉绝对值求解． 解含有参数的不等式时，往往要分类讨论，在讨论时，要利用逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，最后综合给出答案．划分的标准是不重不漏．对于含有参数的一元二次不等式求解时，一般从三个方面进行分类讨论：一是对二次项系数的正、负、零的讨论；二是对二次函数判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0的讨论；三是对二次方程两根x1、x2大小的讨论． [思路点拨] 1 利用二次函数的性质可求f x 的解析式； 2 把分式不等式转化为高次不等式，利用穿根法求解． 不等式恒成立问题的基本思想是借助函数思想，通过不同的角度构造函数，借助函数图象或利用判别式来解决，常见的思路有以下三种： 1 分离参变量通过等价变形，将变量与参数量从整体式中 分离出来，转化为f x ＞ 或＜、≥、≤ a恒成立问题． 2 借助函数图象或利用判别式来求解． 将原不等式通过移项后转化为某个函数值恒正 或非负 ， 恒负 或非正 的问题，再借助图象或利用判别式来解决． 3 借助两个函数图象比较两函数值的大小． 通过构造两个函数，画出它们的图象，通过图象来比较两 个函数值的大小，即数形结合法来解决恒成立问题． [思路点拨]　本题中 2 可以转化为关于a的函数，也可分离参数求a的范围． [自主解答]　 1 f′ x ＝ax2－3x＋ a＋1 ， 由于函数f x 在x＝1处取得极值，所以f′ 1 ＝0. 即a－3＋a＋1＝0，∴a＝1. 2 法一：由题设知ax2－3x＋ a＋1 ＞x2－x－a＋1对任意a∈ 0，＋∞ 都成立， 即a x2＋2 －x2－2x＞0对任意a∈ 0，＋∞ 都成立． 设g a ＝a x2＋2 －x2－2x a∈R ． 则对任意a∈R，g a 为单调递增函数 a∈R ． ∴对任意a∈ 0，＋∞ ，g a ＞0恒成立的充分必要条件是g 0 ≥0，即－x2－2x≥0，∴－2≤x≤0. 于是x的取值范围是 x|－2≤x≤0 ． 本题为导数与不等式结合的综合题，考查易误点在第 2 问，一是想不到转化为关于a的函数；二是忽略g 0 ≥0中的“＝”． [自主解答]　 1 由题意：A＝ x|－1＜x＜3 ，B＝ x|－3＜x＜2 ，A∩B＝ x|－1＜x＜2 ，由根与系数的关系可知： a＝－1，b＝－2，故选A. 2 因a＝x2＋x＋2＝ x＋ 2＋＞1， 不等式等价于 解 1 得－7＜x＜11. [例2]　已知f x 是二次函数，不等式f x ＜0的解集是 0,5 ，且f x 在区间[－1,4]上的最大值是12. 1 求f x 的解析式； 2 解关于x的不等式＞1 a＜0 ． 2 等价于 或?② 或?③ 解不等式组得 x|x＜－5 ， 解不等式组得其解集为， 解不等式组得 x|x＞4 ， ∴原不等式的解集为 x|－7＜x＜－5或4＜x＜11 . [自主解答] 1 f x 是二次函数，且f x ＜0的解集是 0,5 ， 可设f x ＝Ax x－5 A＞0 ， f x 的对称轴为x＝且开口向上． f x 在区间[－1,4]上的最大值是f －1 ＝6A＝12. A＝2.f x ＝2x x－5 ＝2x2－10x. [例3]　已知函数f x ＝x3－x2＋ a＋1 x＋1，其中a为实数． 1 已知函数f x 在x＝1处取得极值，求a的值； 2 已知不等式f′ x ＞x2－x－a＋1对任意a 0，＋∞ 都成立，求实数x的取值范围． 2 由已知得＞0， x x－5