第三章 徐中国传统数学(下).ppt

可选作报告的问题: (1)选一个你感兴趣的人物,介绍其数学或数学教育思想; (2)紧密结合现在所学课程或中学课程,深刻认识四大家的数学成就(以一个主题为突破口); (3)收集中国古代数学问题,挖掘其中的算法思想,并用程序实现之; (4)思考一下，数学的发展与社会文化,经济,制度等的关系,可以以宋元数学的发展与没落为例. 中国传统数学持续而又稳缓的发展趋势，及理论的局限性 中国古代数学长期发展的持续性在世界是罕见的。正如三上义夫所指出：“中国之算学，其发达已有二三千年之历史。……就此点而言之，印度或可与中国比较。”而“在希腊则自公元前6世纪至公元后4世纪，不过一千年之期。” 相对于近代数学的发展说来，中国古代数学的进展是缓慢的，两三千年徘徊于初等数学的圈子里。和西方相比，中国传统数学的发展是平稳的，既没有西方长达千年的“黑暗的中世纪”，也没有实现近代欧洲那样由常量数学向变量数学的飞跃。 求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。 对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法。 意义:该算法看似简单，其最大的意义在于将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值。在人工计算时，利用秦九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算；对于计算机程序算法而言，加法比乘法的计算效率要高很多，因此该算法仍有极大的意义，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比作一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间。 中国剩余定理的总结与完善 《数书九章》还有一项伟大贡献，那就是“大衍总数术”，它明确系统地给出了求解一次同余式的一般解法。该方法的关键部分称为“大衍求一术”。由于实际问题中，模数并不总是两两互素，而且还有小数、分数等。对此，大衍总数术皆给出了相应可靠的计算程序，是为历史上首次对模数非两两互素同余式组的处理。 《数书九章》之“大衍总数术”显然是对《孙子算经》“物不知数”算法的继承与发展，其实，贯穿于整个中国古代历法的编制史，关于一次同余式组求解的研究，已形成了中国古典数学中饶有特色的部分。制定历法时“历元”的确定，其计算过程本质上就是一个一次同余式组的求解问题。 N ?Ri (mod Ai) [ i =1，2， …… ，n ] 已知： Ri与Ai ，求最小整数 N 。 N为所求数 ， Ri叫余数 ，叫问数Ai 。 秦九韶“大衍术”解法步骤： （1）化问数Ai为定数ai ，使ai | Ai, (ai, aj) =1, i ? j, 且[a1, a2, … , an]= [A1, A2, … , An] （2）大衍求一术求乘率ki, 记[a1, a2, … , an]=M，M ? ai = Mi ， Mi ? gi (mod ai ) ki Mi ? ki gi ? 1 (mod ai ) （3）大衍总数术（中国剩余定理）： N ? ? ki Mi Ri —pM 定数 ai 奇数 gi 天元 1 奇数 20 定数 27 1 天元 1 对于一次同余方程： ki gi ? 1 (mod ai ) 如： 20k ? 1 (mod 27 ) ，求k 27÷20 = 1 余7 q1 r1 20 7 20÷7 = 2 余6 q3 q2 r2 7 6 7÷6 = 1 余1 6÷1 = 5 余 1 r4 r3 q4 4 23 3 3 4 1 1 6 1 1 1 右上余1程序停止 c3 q4 + c2 = c4 c1 q2 + 1 = c2 c3 c2 c1 = q1 c2 q3 + c1 = c3 c1 大衍求一术 k = c4 = 23 r1 r2 r3 r4 垛积术与招差法 高阶等差级数与内插法。朱世杰在高阶等差级数和内插法方面也取得了重要成就。他在沈括、杨辉和王恂等人的基础上，把级数和内插法向前推进了一大步。在《其学启蒙》和《四元玉鉴》两书中有一大批这样问题：已知各种垛积的物体的总数，求垛积底层物体的个数。这类问题的解决，领先知道级数求和公式，然后才能反求底层物体的个数。关于求和公式有下面一组： 高阶等差级数求和是《四元玉鉴》的重要内容。由许多求和问题中的一系列三角垛公式可归纳得公式 招差术 《四元玉鉴》中卷“如象招数门”主要是讲招差术，实际上也是属于高阶等差级数问题，但其求和是通过招差公式，即内插法公式进行的。 其中最后一题自注非常典型： “今有官司依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，得数为兵，今招一十五方，每人口支钱二百五十文，问兵及支钱各几何。答曰；兵二万三千四百人，钱二万三千四百六十二贯。” 招兵的人数以立方计算，也就是第一次招兵33＝27人，第二次招(3+1)3＝43＝64人，就这样一直招到第十五次，