4.11-12解答.pdf

4.11 信道输入，输出在实数轴上取值，即X Y R ，Y=X +Z ，Z 为 0.5,0.5 上均匀分 布随机变量，X 的峰值限制为|X | b ，b 为正整数，求证信道容量为 Cb log2 b 1 [证明]信道如图所示，其中Z 为与X 相独立的，在[0.5,0.5] 上均匀分布随机变量。 I (X ;Y) h(Y) h (Y | X ) Z h (Y) h(X Z | X ) Y h (Y) h(Z ) X + h (Z ) ln 1 0 Y 为峰值受限于| Y | 0.5 b 的随机变量。当Y 是(0.5 b ,0.5 b ) 上均匀分布时 ，其微分熵极大， h (Y) ln( 2 b 1) nat 所以 I (X ;Y) ln( 2 b 1) nat （*） 式 （*）中等号当Y 为Y (0.5 b ,0.5 b ) 上均匀分布时成立。 由于当X 为X { b , b 1,L,0,L, b} 上均匀分布时，即 1 p {X i} ，i 0,1,L, b 2 b 1 输出Y X Z 是(0.5 b ,0.5 b ) 上均匀分布随机变量，从而 （* ）的等号成立， 所以 C ln( 2b 1) nat/次 4. 12 有一个叠加噪声的信道，输入X 是离散随机变量，取值{+1，- 1}，噪声N 的概率密度 为 1 | n | 2 PN (n) 4 0 | n | 2 信道输出 Y=X +N 是连续随机变量，求 （1）该半连续信道容量C max I (X ;Y ) ； p (x ) （2 ）若在信道输出上接一个检测器作为这信道一部分，检测器输出变量为 1 Y 1 Z 0 1 Y 1 1 Y 1 这样构成离散信道，求它的容量。 [解]（1）由于信道的对称性，达到信道容量的分布为对称分布，即 p (X 1) p (X 1) 0.5 1 1 y 3 因为 p (Y y | X 1) 4 0 其它 1 3 y 1 p (Y y | X