天津市蓟州区第一中学2024-2025学年高三下学期第一次学情调研数学试题（含答案）.docx
蓟州区第一中学2024-2025学年度第二学期第一次学情调研
高三年级数学学科
一、选择题：
1.设集合，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式化简,进而由集合的交并补运算即可求解.
【详解】或，由得,所以，
故选：D
2.在中，已知，，则“”是“”成立的（）条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果.
【详解】由正弦定理得，即，
，又因为，
或；
则“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：.
3.某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数为（）
A.85 B.86 C.87 D.88
【答案】C
【解析】
【分析】由频率分布直方图的性质求出，再由百分位数的方法求解即可.
【详解】由题意可得，解得，
所以前两组的频率和为，前三组的频率和为，
设这组样本数据分位数为，则，
解得.
故选：C.
4.在下列函数中，周期为的函数是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等变换、结合正余弦函数及正切函数的周期逐项判断即可.
【详解】对于A，，周期为，A不是；
对于B，，周期为，B不是；
对于C，，周期为，C是；
对于D，，周期为,D不是.
故选：C
5.以△ABC为底两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角为，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则=（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意画出图形，把正三棱锥的体积比转化为高的比，然后通过求解直角三角形得到两三棱锥高的关系得答案．
【详解】如图，正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球，
设到底面的距离为，到底面的距离为，
则，
取的中点，连接，，，
记与平面的交点为，
由两个正三棱锥和内接于同一个球，故一定为球的直径，
记其中点为即为球心，且由题意可知，为正三角形的中心，
因此，，分别为正三棱锥和正三棱锥的高，，
由，，，且为的中点，
可得，，，
则为正三棱锥的侧面与底面所成的角为，
，，记球的半径为，于是，
在中，由勾股定理可得，，
解得，于是，
则,
．
故选：C．
6.已知，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案．
【详解】.
设，则有，单调递减，
从而，所以，故，即，
而，故有．
故选：A．
7.已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点的坐标，进而求出即可求解作答.
【详解】抛物线：的焦点为，准线为：，令交于点，即有，
由，直线的倾斜角为，得，则，，
又，则为正三角形，，因此点，
双曲线：过点的渐近线为，于是，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：B
8.已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（）
A.
B.将的图象向右平移个单位，得到的图象
C，都有
D.函数的单调递减区间为，
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解.
【详解】由图知，，即，
所以，由题意，根据为下降零点，
则，则，
又因为，所以，
所以的解析式为：，
对A，，故A正确；
对B，将的图象向右平移个单位，得的图象，故B错误；
对C，由三角函数的性质知，，所以，都有，故C正确；
对D，由，得，
所以函数的单调递减区间为，故D正确.
故选：B.
9.在直三棱柱中，，，，分别是BC，的中点，在线段上，则下面说法中不正确的是（）
A.平面
B.直线EF与平面ABC所成角的余弦值为
C.直三棱柱的外接球半径为
D.直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系利用空间位置关系的向量证明可得A正确，再由线面角的向量求法计算可得B错误，确定直三棱柱的外接球球心位置可计算半径为，即C正确，利用异面直线向量求法求出直线与直线所成角最小时点的位置，可判断D正确.
【详解】因为是直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，又，即；
因此两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
对于A，又，所以，可得，
显然平面的一个法向量为，
所以，又平面，所以平面，