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Factorial Analysis for 2 factorial design * Chap 5 因子設計簡介 Factorial Design : 對探討多個因子效應的研究，實驗的設計上安排所有可能的因子水準組合都被測*試過，且實驗順序為隨機，稱為 因子設計。 因子設計的試驗結果可分析出二種對反應值的影響： 主效應及交互作用。 主效應 (Main Effect)：某因子水準的變化對觀察值的影響 因子間的交互作用 (Interaction between the factors)：某因子對反應值的影響狀況隨著另一因子水準的變化而有不同的表象，此時稱二因子間有交互作用 。 交互作用之例： No interaction with interaction 40 20 B+ 52 30 B- A+ A- 50 20 B+ 12 40 B- A+ A- 反應均值 反應均值 A- A- A+ A+ B- B- B+ B+ 不同型態交互作用之例： 75 74 高 72 50 低 大 小 75 53 高 52 50 低 大 小 員工生產力 75 55 高 40 50 低 大 小 若二因子皆為數量型因子，且反應值對二因子的關係式可以寫成下列迴歸式，其圖形稱為反應曲面。 交互作用之另一種表示方式： 主效應由 b1及 b2決定，交互作用效應由 b3決定； 若 b3=0，無交互作用，反應曲面為一平面，等高線圖是一組平行直線； 若 b3≠0，交互作用是明顯的，如圖。所對應之主效應就沒有太多的實質意義，此時討論各別的效應可能無多大意義。 因子設計的優勢 : (1) 可同時試驗幾種因子自身的效應，比每次試驗一因子的設計 更為有效。 (2) 可得到因子間相互的效應。 (3) 增加各因子重複次數，減少試驗誤差。 (4) 估計一因子在其它因子不同水準下的效應。 假設二因子為 A 及 B，各有 a 個及 b 個水準，在所有可能的 ab 個組合下，各重複 n 次試驗， n1 Yijk = μ + τi +βj+ (τβ)ij + εijk , i= 1,...,a, j= 1,…,b k=1,…,n εijk ~ N(0, σ2) μ 整體平均數 τi 因子 A 第 i 項水準的影響力 βj 因子 B 第 j 項水準的影響力 (τβ) 交互效應 註：此設計亦為一 Completely Randomized Design Model 5-3 二因子之因子設計 註 : ANOVA中， SST = SSA + SSB + SSAB + SSE (2) 檢定 main effect (1) 檢定因子間的 interaction 分析 (4) 當 ANOVA 的結果是顯著時，進一步分析： Case I、 交互作用不顯著 對各因子，分別執行 multiple comparison Case II、 交互作用顯著 視情況選擇下列任一分析： 1. 所有因子 A 與 因子 B 的組合間，互作比較。 2. 固定某因子的水準，對另一因子分析。 3. 若二因子皆為數量因子，可尋找觀察值對因子的 關係式 (3) 檢查模式的適合性 a. 同變異性 (觀察殘差圖) b. 常態性：Normality test normal prob. Plot EXAMPLE (3x2 factorial balanced design) IRS 研究表格複雜程度與交表時間對所得稅作業時間的影響 Factors :複雜程度(3 levels)，交表時間(2 levels) 對 6 種組合的處理，各取 3 筆資料 ( 3 replicates) Data : (sas報表：Tax_fac, Tax_Normality) 1. ANOVA 2. 各組平均數圖形 二因子間的交互作用不顯著，二因子的主效應是顯著的 3. Tukey’s HSD 對對比較 Tukey Grouping Mean compx A 7