矩阵论习题课答案.docx

___________________________________________________________________________________________________ 习题课答案 一 1). 设 A为 阶可逆矩阵, ? 是 A的特征值,则 的特征根之一是(b )。 * A n | A |n | A | | A| | A |n ? ? ? ? (a) ?1 (b) ?1 (c) (d) (x , x , x , x ) 2). 正定二次型 f 的矩阵为 A，则( c )必成立. 1 2 3 4 (a) (c) (b) A 的所有顺序主子式为非负数 A 的所有顺序主子式大于零 A 的所有特征值为非负数 (d) A 的所有特征值互不相同 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 0 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B ? 0 1 0? 相似,则?,? 3).设矩阵 A 与 的值分别为( a )。 ? 0 0 2? ? (a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 二 填空题 1 1 1 1 , , , 4)若四阶矩阵 A与B 相似， 的特征值为 B ? E ，则 ?1 = 24 。 A 2 3 4 5 5 ?3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 6 ?4 4 A100 ,则 5)设 A = ? ? 4 ?4 5 ? ? 3 ? 2(2 ?1) 2 ? 2 ?3 3 ?1 ? 100 100 100 100 100 ? ? ? 2(2 ? 3 ) ? 4 4 ? 2 ? 2?3 2(3 ?1) 100 100 100 100 100 ? ? ? 2(3 ?1) 2(1?3 ) 2?3 ?1 100 100 100 ? ? 三 计算题 3.求三阶矩阵??1 2 7 6 ?的 Jordan 标准型 ? ? 25 ? 1 ? ? ? 0 ? ?2 ?7 ? 精品资料 ___________________________________________________________________________________________________ ? 1 ? ? ?2 ?6 ? 1 0 0 1 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? A ? ? ? ? ?E 1 ? 7 ?25 ? 解 ,将其对角化为 .故 A 的若当 ? ? ? 2 ? ? 7? ? 0 0 0 (? ?1) (? ?1) ? ? 2 ? ??1 0 0? ? 1 ?1 0? 标准形为? .■ ? ? ? ? 0 0 1? ? ? ? ? T 是 ? 0, 1, 1 , ? 1,2, 1 ? ? ? ? ? 4.设 A 是 3 阶对称矩阵,且 A 的各行元素之和都是 3,向量 T AX ? 0的解,求矩阵 的特征值,特征向量,求正交阵Q 和矩阵 B 使得Q BQ ? A A T 依题意有 0 ?1 1 ? ?0 0 3? 0 0 3 0 ?1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? A ?1 2 1 ? 0 0 3 因而 A ? 0 0 3 ?1 2 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 0 0 3 1 ?1 1 ?? 1 ?1 1 ? ?0 0 3? 1 1 1 (?) ?| ?E ? A |? ? (? ? 3) ? ? 0,? ? 3 其特征多项式为 f 2 .故特征值为 . 1 2 ? ? ? ? ? 0 ?AX ? 0 X ? ?1,0,1 X ? ?1,1,0 ? ⑴ , 解 特 征 方 程 得 T , T . 特 征 向 量 为 1 1 2 l X ? l X . 1 1 2 2 ? ? ? 3 (3 ? ) ? 0 X ? 1,1,1 l X 3 ? E A X ⑵ ,解特征方程 得 T .特征向量为 . 2 3 3 ,l ,l ? R X , X 以 上 l . 把 向 量 正 交 并 单 位 化 得 1 2 3 1 2 ? ? 1 1 1 , , 3 3 3 1 1 3 3 3 ? ? ? (? ,0, ),? ? ? , ,? X ? 单位化得? ? ? ? .把向量 . ? ? ? ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ? ? ? ? ? ,? ,? 以 作 为 列 向 量 作 成 矩 阵 P , 则 P 为 正 交 矩 阵 且 1 2 3 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 2 2 ? 0 0 0? ? ? 0 0 3? ? 3 3 3 ? ? ? ? Q Q BQ ? A .■ P AP T