矩阵在图像处理方面的应用.docx

___________________________________________________________________________________________________ 矩阵大作业 一、 简介 矩阵理论是数学的一个重要分支，内容十分广泛，是数学和其他学科 （如数值分析、概率统计、优化理论以及电学等）的基础，在科学与工程 计算方面有着广泛的应用，例如在数字图像处理中就运用到大量的矩阵知 识。数字图像处理(Digital Image Processing)是通过计算机对图像进行去 除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。而对于数字 图像我们都很熟悉，我们从计算机上看到的图片，雷达图像，以及人体 MRI 图像等等都是数字图像。 二、 我们可以将一幅图像定义为一个二维的函数 f（x，y），其中 x，y 表示空 间坐标，在空间坐标（x，y）点上的幅值 f 表示该点图像的强度或者灰度。 对于数字图像而言，空间坐标 x、y 和幅值 f 都是有限的、离散的，这样 的话，一幅图像就可用一个二维函数表示。对于模拟图像不利于计算机进 行处理，所以要将模拟图像转换成数字图像，主要包括：取样和量化。取 样就是讲 x，y 坐标值离散化，而量化就是将幅度值离散化，这样取样和 量化的结果就是一个矩阵，可以表示为： ? ? ? ? ? : : : : ? ? f (m ?1,0) f (m?1,1) .. f (m?1,n?1)? m?n 更一般的矩阵表达式为： ? ? ? ? ? (0,n ?1) A ? (1,0) : (1,1) : (1,n 1) ? : .. a ? ? (m?1,0) m?n 图像压缩的目的是减少图像遗留在数据中的多余信息，使之得到更高效 格式存储和数据传输，而数据可以压缩的原因就在于数据中存在冗余信息。 以数学的观点来看，这一过程实际上就是将二维像素阵列变换为一个在统计 上无关联的数据集合，图像压缩是指以较少的比特有损或无损地表示原来的 精品资料 ___________________________________________________________________________________________________ 像素矩阵的技术，也称图像编码。图像压缩可以是有损数据压缩也可以是无 损数据压缩。对于如绘制的技术图、图表或者漫画优先使用无损压缩，这是 因为有损压缩方法，尤其是在低的位速条件下将会带来压缩失真。如医疗图 像或者用于存档的扫描图像等这些有价值的内容的压缩也尽量选择无损压缩 方法。有损方法非常适合于自然的图像，例如一些应用中图像的微小损失是 可以接受的（有时是无法感知的），这样就可以大幅度地减小位速。 2.矩阵的奇异值分解理论在数字图像处理中的应用 (1)矩阵的奇异值 , ? 是 AA 的特征值， ? 是 A A 的特征值，都是实 m?n H H r i i ? ? ? r?2 ? ? ... ? ? ? ... ? 1 2 r?1 ? ? ? ? ... ? ? ? 2 r r?1 r?2 n 则特征值? 与 ? 之间的关系为? ? ? ? 0 ，（i=1,2，…,r） i i ? i i ? ? ? 是 A 的正的奇异值，若 A 为正规矩阵，则 A 的奇异值是 A 的 i i i 特征向量的模长。 ，? ? ? ? ... ? ? 是 A 的 r 个正奇异值，则存在 m 阶酉矩阵 U r 1 2 r 和 n 阶酉矩阵 V，满足 ?? O? A ?UDV ?U V H ? ? H ?O O? ? ? 1 ? H H ? ? diag( , , ) 为奇异对角阵。 U 满足 U AA U 为对角阵， V 满足 其中， 2 r ? V A AV 为对角阵，U 的第 i 列为 A 的对应于 奇异值的左奇异向量，V 的第 i 列为 A H H i 的对应于? 奇异值的右奇异向量，它们的每一列均为单位向量，且各列之间 i 互相正交。奇异值分解是一种基于特征向量的矩阵变换方法，是现代数值分 析的最基本的方法之一 （3）奇异值分解的图像性质 ? ? 矩阵的奇异值（ , , ? ）是唯一的，它将矩阵数据的特 每一个 ? A C m?n r 1 2 r 征和分布很明显的算了出来。矩阵的奇异值分解可以这样理解：将 ? A C 当做 m?n r 一种线性变换，它将 m 维空间的点映射到了 n 维的空间。 ? A C 通过奇异值 m?n r 分解，被分割成 3 部分，分别为 U、 和 V。 ? A 为数字图像，可视为二维时频信息，可以将 A 的奇异值分解公式写成 ?? O? ? r r ? ? ?? H A ?UDV ?U V ? A ? H ? ? H ?O O? i