高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学实录 新人教A版选修2-3.docx
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学实录新人教A版选修2-3
授课内容
授课时数
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授课地点
授课时间
教学内容分析
1.本节课的主要教学内容：高中数学第一章计数原理1.3“杨辉三角”与二项式系数的性质。
2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课内容与第一章前两节有关联，学生需要掌握组合数的计算方法，以及二项式系数的基本性质。这些知识将为本节课的学习打下基础。
核心素养目标
培养学生的数学抽象和逻辑推理能力，通过“杨辉三角”的学习，引导学生从具体实例中抽象出数学规律，理解二项式系数的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。同时，提升学生的数学建模和直观想象能力，通过观察、归纳、总结，培养学生的探究精神和创新意识。
教学难点与重点
1.教学重点
-明确本节课的核心内容：重点在于理解和掌握“杨辉三角”的规律以及二项式系数的性质。具体包括：
-理解“杨辉三角”的构造原理，能够根据规律填写三角形中的任意一项。
-掌握二项式系数的递推关系和组合数的计算公式。
-应用二项式系数的性质解决相关数学问题，如二项展开式的系数计算。
2.教学难点
-识别并指出本节课的难点内容：
-理解“杨辉三角”中系数的递推关系，并能够正确填写三角形中的任意一项，这是由于学生对组合数的概念和递推关系理解不够深入。
-掌握二项式系数的性质，并能够灵活运用这些性质进行计算，这是由于学生对抽象的数学概念和性质的理解和运用能力不足。
-将二项式定理应用于解决实际问题，需要学生具备较强的数学建模能力，这是本节课的一个难点。例如，在解决概率问题时，学生需要将实际问题转化为二项式展开式，并正确计算系数。
教学方法与策略
1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，首先通过讲解“杨辉三角”的构造原理和二项式系数的性质，帮助学生建立基本概念。
2.设计小组讨论活动，让学生通过合作探究，共同发现二项式系数的规律，提高学生的合作能力和探究精神。
3.利用多媒体展示“杨辉三角”的动态生成过程，帮助学生直观理解递推关系。
4.通过数学游戏和实际案例，如概率问题，让学生在游戏中学习，在案例中应用二项式定理，提高学生的实践能力。
教学过程
（一）导入新课
同学们，今天我们来学习第一章计数原理中的二项式定理。首先，请大家回顾一下之前学过的组合数和二项式展开式的基本概念。现在，请大家拿出笔记本，准备好记录今天的学习内容。
（二）新课讲授
1.杨辉三角的构造原理
同学们，我们先来探讨一下杨辉三角的构造原理。请大家拿出一张白纸，尝试自己动手画一个杨辉三角。在画的过程中，我会向大家讲解杨辉三角的规律。
（学生动手画杨辉三角）
现在，大家已经画出了杨辉三角。接下来，我将向大家讲解杨辉三角的规律。首先，杨辉三角的第一行和最后一行都是1。其次，除了第一行和最后一行，其他每一行的第一个数和最后一个数都是1。再次，除了第一行和最后一行，其他每一行的中间数等于它正上方和左上方两个数的和。
（三）互动环节
同学们，现在请大家闭上眼睛，回忆一下杨辉三角的规律。然后，我将随机提问几个问题，请大家尝试回答。
问题1：杨辉三角的第一行和最后一行都是什么数？
问题2：杨辉三角的规律是什么？
问题3：如何根据杨辉三角的规律填写三角形中的任意一项？
（四）二项式系数的性质
1.二项式系数的递推关系
现在，请大家拿出笔记本，记录下二项式系数的递推关系：$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$。
（学生记录二项式系数的递推关系）
2.二项式系数的性质
性质1：$C_n^0=C_n^n=1$。
性质2：$C_n^k=C_n^{n-k}$。
性质3：$C_n^k\leqC_n^{k-1}$，当$k\leqn/2$时。
（五）实例分析
为了帮助大家更好地理解二项式系数的性质，我将通过几个实例进行分析。
实例1：计算$(2x+3)^4$的展开式中$x^3$的系数。
解答：根据二项式系数的性质，$C_4^3=4$，所以$(2x+3)^4$的展开式中$x^3$的系数为$4\times2^3\times3=48$。
实例2：证明$C_n^k\leqC_n^{k-1}$，当$k\leqn/2$时。
解答：由二项式系数的递推关系可知，$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$。当$k\leqn/2$时，$C_{n-1}^{k-1}\leqC_{n-1}^k$，因此$C_n^k\leqC_n^{k-1}$。
（六）课堂小结
同学们，今天我们学习了杨辉三角的构造原理和二项式系数的性质。希望大家能够通过课堂学习和课后练习，熟练掌握这些知识。
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