概率論与数理统计学习指导与习题第八章.doc

第八章 统计实验设计 一、学习要求、重点难点 通过本章的学习，应使学生理解（统计）实验、控制因素、水平、区组因素、响应变量、正交表、正交实验等基本概念，了解正交表的常见类型，掌握正交表的性质，掌握两因素实验的可加主效应模型，了解多因素实验的可加主效应模型，了解多因素实验的可加主效应模型与正交表之间的对应关系，并能用正交表安排多因素正交实验，了解正交实验的几何解释，能对正交实验结果进行直观分析与方差分析。 本章学习重点：统计实验设计的基本概念；正交表的形式与性质；两因素实验的可加主效应模型及其正交实验安排；正交实验结果的直观分析与方差分析。 本章学习难点：正交表的构造与性质；多因素实验的可加主效应模型；正交实验的几何解释；正交实验结果的方差分析。 二、内容提要 实验是对一个过程或系统的输入变量作一些有目的的改变，以使能够观察到和识别出引起输出响应变化的原因。过程或系统的一些输入变量需要在实验环境中加以控制，称为控制因素，其不同的取值或不同的取值范围称为水平。另一些变量在实验环境中不加控制，它们在实验设计或者被区组化而称为区组因素，或者被随机化而称为随机因素。过程或系统的输出变量称为响应变量或实验指标。 正交实验方法是一种应用广泛的统计实验方法，它利用正交表设计实验。 一个行列的矩阵，其第列有个不同的元素，分别以数码“1”,“2”，…，“”记之，对给定的正整数，从矩阵中任选列，比如，由这列组成一个阶的子矩阵，将这个子矩阵的每一行看作一个向量。如果恰好有个不同的向量，且每个向量在子矩阵中恰好出现次，则称此阶矩阵为水平数为，大小为，约束为，强度为的正交矩阵，记为。当时，也记为，并称为正交表。比如下图所示的正交表： 各列水平数均相同的正交表称单一水平正交表。常用的有水平数为2的正交表，，，，，。水平数为3的正交表，。水平数为4的正交表。水平数为5的正交表。 各列水平数不相同的正交表称混合水平正交表。常用的混合水平正交表有：，，，，，，。 正交表必须满足如下性质： （1）任何一列每个不同的水平必出现相同的次数。 （2）若，则任何强度为的正交表也一定是强度为的正交表。 （3）当时，有。如果等式成立，则称该正交表为饱和正交表。比如：，，，，，，，，，。 多因素实验除研究因素的水平变化对实验指标的影响外，还需分析各因素对实验指标的作用。因此，多因素也称为析因实验。 两因素实验可表示为如下模型： 称为两因素实验的交互效应模型。模型参数共有个，其中，独立参数个数为：，正好是两因素的水平组合数或处理数。这意味着，要对这个独立参数进行估计，必须在个处理的每一个上进行至少一次试验。 如果忽略所有的交互效应，则两因素实验模型可表示如下： 称为两因素实验的可加主效应模型，模型参数共有个，其中独立参数个数为。这意味着，只要适当选择个处理进行试验，就能估计出模型中的所有参数，从而估计出个真值。 类似地，个因素的可加主效应模型为 其中， 表示第因素水平为时的主效应，且满足边界条件： 可见，多因素实验的可加主效应模型与正交表之间有一种自然的对应关系，可以利用正交表安排这样一类多因素实验，这类实验也称为正交实验。 正交实验有直观的几何解释：将维空间进行正交分解，分解成若干子空间，即为正交表各列，第列表示一个维的子空间，而第列平方和即为一维空间向量于此子空间投影的平方长度。 对正交实验的结果可以进行直观分析与方差分析。 通过直观分析，可以确定（1）各因素对实验指标影响的大小顺序；（2）实验指标随各因素水平变化的趋势；（3）可能使实验指标最佳的因素水平搭配；（4）进一步的研究方向。 通过方差分析，则可以（1）对模型的拟合程度进行检验；（2）对各因素效应进行显著性检验；（3）对效应显著的因素，对其各水平效应差异进行多重检验。 三、例题分析 例1 （Cox Snell，1981；John Quenouille，1977） 表8-1为24只六周大小的小鸡的重量（单位：克），是在12种不同的饲养方法下观测的结果。这12种饲养方法为3种因素的水平组合：3水平的蛋白质含量，2水平的蛋白质类型，2水平的添加剂水平。每种饲养方法在不同的房间里对两只小鸡进行试验。 （引自：D R Cox, N Reid. The theory of the Design of Experiments. ） （1）该实验中的控制因素、区组因素和处理分别是什么？ （2）如果对实验次数加以限制而采用正交实验，可如何安排实验？ 解： 该实验中的控制因素为：蛋白质含量，蛋白质类型，添加剂水平。区组因素为饲养的房间。共有12个处理，即三个控制因素的水平组合。 可用正交表安排实验。 例2 对例1中的实验数据进行直观分析。 解：以下用R软件进行有关计算和分析。 （1）计算各因素水平下小鸡重量的