概率論与数理统计复习指导第三章.doc

多维随机变量及其分布 §3.1 二维随机变量及其分布 一、知识点 1． 熟练掌握二维随机变量的分布函数的概念，二维离散型随机变量的分布律的概念，二维连续型随机变量及其概率密度的概念； 2． 掌握二维随机变量的分布函数与分布律或概率密度函数之间的关系，并会利用它们解决问题； 3．熟悉二维均匀分布及二维正态分布. 二、复习重点 二维随机变量分布函数的定义： 设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数 为二维随机变量的分布函数或随机变量X与Y的联合分布函数。 2. 二维随机变量分布函数的性质： 1）；2）关于变量x和y均单调非减，且右连续； 3）对于任意固定的y，； 4）对任意的，随机点落入区域内的概率：. 3. 二维离散型随机变量的分布律的定义： 如果二维随机变量可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则称为二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量所有可能的取值为，且对应的概率为则称上式为二维随机变量的概率分布或X与Y的联合概率分布. 也常用表格表示 Y X … … … … … … … … … … … … 4. 分布律的性质：1）. 2）. 5. 二维连续型随机变量的定义： 设二维随机变量的分布函数为，如果存在非负可积的二元函数，使得对任意实数，有，则称为二维连续型随机变量，称函数为二维随机变量的概率密度函数或随机变量X和Y的联合密度函数. 6.二维连续型随机变量联合密度函数的性质： 1）；2）； 3）若在点处连续，则有； 4）设D是平面上任一区域，则点落在D内的概率为 . 7. 两个常用二维连续性分布 均匀分布 设为二维随机变量，是平面上的一个有界区域，其面积为，若的密度函数为，则称二维随机变量在上服从二维均匀分布. （2） 二维正态分布 若二维随机变量的概率密度为 （ ） 其中都是常数，且，则称服从二维正态分布. 三、思考题 例1 设二维随机变量的密度函数为 求：（1） 常数，（2），（3）. 分析：利用密度函数的性质. 解：由二维随机变量密度函数的性质，有 （1） ， . （2）如图（a）所示：. （3）如图（b）所示；. 1 1 （a） (b) 例2　把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率函数 . 解：（ X, Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3) P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2, Y=1)=3/8P(X=3, Y=0)=1/8 §3.2 边缘分布 一、知识点 1. 熟练掌握二维离散型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算； 2. 理解二维连续型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算； 二、复习重点 1. 边缘分布函数 设是二维随机变量，称分量的概率分布为关于的边缘分布；分量的概率分布为关于的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分别记作与。 2. 边缘分布律 若已知，则随机变量的概率分布为关于的边缘分布如下： 同样得到关于的边缘分布：，. 记,所以关于的边缘分布律为： ... ... ... ... 关于的边缘分布律为： ... ... ... ... 3. 边缘分布密度 设是的联合密度函数，则分别是关于的边缘分布密度函数。 4. 一个结论 若服从二维正态分布，则，，反之不成立. 三、思考题 例1设（）服从区域D上的均匀分布，即它的分布密度为 其中S(D)为区域D的面积.如果D是由x轴,y轴及直线=1所围成的三角形区域，求关于及关于的边缘分布密度。 分析： 例2 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求X与Y的边缘分布律 . §3.3 条件分布 一、知识点 了解条件分布的定义及性质 了解离散型随机变量的条件分布定义及性质 了解连续型随机变量的条件分布定义及性质 二、复习重点 1. 离散型随机变量的条件分布 （1）定义 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj)0，则称P(X=xi|Y=yj)= ，i=1,2, …为在Y=yj条件下随机变量X的条件概率函数。类似可定义在X=xi条件下