北航数值分析大作业三.docx

《数值分析》大作业（3） 一、 算法设计方案 1．算法的总体设计 根据题目中给定的关于 z、t、u 的数表及方程组，可以得到关于 z、x、 y 的数表，以此数表作为基础，可以得到 Z(x，y)的表达式。 要在区域 D ? ?? x, y ? 0 ? x ? 0.8, 0.5 ? y ? 1.5? 上作二元拟合函数 krsp ? x, y ? ? ? c rs x y k r s r , s ?0 10 20 ，并使 p ? x, y ? 在某一最小的 k 值达到如下精度， 2 ? ? ?? ? f ? x , y ? ? p ? x , y ?? ? 10?7 ，其中 x ? 0.08i ， y ? 0.5 ? 0.05 j 。 i j i j i j i ?0 j ?0 拟合节点的 xi ， y j 值已知，要求出相应的 z ij ? g ?t ij , u ij ? ?  f ? xi, y j ? 。先 解非线性方程组由一组 ? xi, y j ? 可得到一组 ?t ij , u ij ? ，再根据所给的数表作二 元分片插值得到函数 z ? g ?t, u ? ，最后将 ?t ij , u ij ? 代入函数 z ? g ?t, u ? 得到 z ij ? g ?t ij, u ij ? ? f ? xi, y j ? 。 用到的算法有：求解非线性方程组，二元二次分片插值，二元函数拟 合。 2．算法的具体实现 （1）解非线性方程组 题中的非线性方程组采用 Newton 法是收敛的，且有较快的收敛速度。 在 x，y 已知的情况下，方程组是关于 t，u，v，w 的非线性方程组。求解 时近似解向量 x? k ? 满足条件  x? k ? ? x? k ?1?  x? k ? x ? ? ? 10?12 。即对向量形式为 ? f1 ( x1 , x2 ,…,xn ) ? 0 F F ( x) ? 0 ，一般形式为 …, ? 的非线性方程组， ? f2 ( x1 , x2 , xn ) 0 ? ? ? ?? fn ( x1 , x2 ,…,xn ) ? 0 令 ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) h ? (h1 , h2 ,?, hn ), hj ? 0, j ? 1, 2,? n 1 1 1 1 f ( x( k ) ? h ( k ) e ) ? f ( 1 1 1 1 h( k ) h 1 f ( x( k ) ? h ( k ) e ) ? f ( x( k ) ) h 1 n 1 1 h 1 n 1 1 n J ( x( k ) , h( k ) ) ? ? ? f ( x( k ) ? h ( k ) e ) ? f ( x( k ) ) f ( x( k ) ? h ( k ) e ) ? f ( x( k ) ) n 1 1 1 h( k ) h 1  n n 1 n h?( k ) h ? n 其中 e j 是第 j 个 n 维基本单位向量。迭代公式 x( k ?1) ? x( k ) ? J ( x( k ) , h( k ) )?1 F ( x( k ) ), k ? 0,1,…… （2）二元二次分片插值 根据数表作二元二次分片插值得到函数 z ? g ?t, u ? 。分片插值能保证收 敛性，且有较高的精度。根据给定的数表，可将整个插值区域分成 16 个小 的区域。分片插值最终要求 z ij ? g ?t ij, u ij ? ? f ? xi, y j ? ，故先判断?t ij, u ij ? 所在 的区域，再作此区域的插值，计算 z ij 。 （3）二元函数拟合 拟合节点为 ( x , y , z  ), i ? 0,1?10, j ? 0,1?20 。基函数为乘积型的基函 i j ij r s数{? ( x) r s ( y)(r ? 0...k; s ? 0...k )} ，其中? ( x) ? xr ,? ( y) ? y s 。拟合函数为 r sk r s p( x, y) ? ?? crs?r ( x)? s ( y) ，其中C ? crs 为要求的系数矩阵。实际上就是先 s ?0 r ?0 求解系数 C 的矩阵： C ? (BT B)?1 BTUG(GT G)?1 其中： k k ?1 x0 ? x0 ? ?1 y0 ? y0 ? B ? ?1 x1 ? x1 ? ,G ? ?1 y1 ? y1 ?  ,U ? ( f ( x , y )) ?