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第第1章 章 统计信号处理中的基本数学知识统计信号处理中的基本数学知识 第第 章章 统计信号处理中的基本数学知识统计信号处理中的基本数学知识 在信号的分析与处理中常常需要用到不少数学基础知识，因此在本章中将对统计信号处理中可能用到 的数学知识做简单的回顾。第一节主要是对概率论内容的概述；第二节主要是介绍随机过程的基本内容； 在第三节中，线性代数的知识将是我们阐述的重点。 由于本书侧重于数学知识在统计信号处理中的应用，因此关于数学基础知识的阐述以基本概念和有用 的结论为主，而命题的严格证明较少涉及。 1.11.1 概率论概要概率论概要 1.11.1 概率论概要概率论概要 自然界与人类社会的众多现象大致可分为确定性现象与随机现象。 确定性现象，即在一定条件下必然会出现某一结果(或发生某一事件) 的现象。例如，纯净水在一个大 P o 气压下加热至100 C时，必然沸腾。这类现象由确定的规律所控制，从数量的角度来研究，就产生了量与 S 量之间确定的函数关系。 S I 所谓随机现象，即在一定条件下可能出现不同结果(或发生不同事件) ，且不能准确预言究竟出现哪一 种结果的现象。例如，相同条件下掷一枚硬币，可能正面向上也可能反面向上，且在未掷之前无法准确预 − 言究竟哪一面向上。这一类现象广泛存在于自然界与社会活动中，而概率论正是探索研究这类随机现象客 C 观规律的一门学科。 本节首先介绍随机事件及其概率，并在此基础上分析随机变量的分布和数字特征，最后对现实中常用 T 的多维随机变量做简单的概述。 S 1.1.1 随机事件及其概率随机事件及其概率 随机事件及其概率随机事件及其概率 U 观察、研究随机现象的手段与过程称为试验。当试验满足下述条件时，则称其为随机试验，记为E 。 (1) 试验可在相同条件下重复进行(可重复性) ； (2) 试验可能出现的结果不止—个，并明确知道所有可能的结果； (3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但是试验之前不能准确预言哪一种结果会出现。 事件事件、基本事件、基本事件、样本空间、样本空间：某一随机试验中可能： 出现的每一结果称为该试验的一个基本事件基本事件(样本点) ， 事件事件、、基本事件基本事件、、样本空间样本空间：： 基本事件基本事件 记为ω 。所有基本事件构成的集合称为该试验的样本空间样本空间，记为 。由若干基本事件构成的样本空间 中 样本空间样本空间 的子集合称为该试验中的随机事件，简称为事件事件，记为ABC, , , ⋯等。当属于事件A 的某一基本事件发生 事件事件 时，则称事件A发生。 刻画事件A发生可能性大小的指标称为事件A 的概率，记为P A 。下面计算P A 。 ( ) ( ) 统计概率统计概率：在观察某一随机事件： A 的随机试验中，随着随机试验次数n 的增大，事件A 发生的频率 统计概率统计概率：： f A 会越来越稳定地在某一常数p 附近摆动，这时就以常数p 作为事件A 的概率即P A = p 。 n ( ) ( ) 古典概型古典概型：具有以下特征的随机试验： ： 古典概