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等差数列与等比数列的综合问题

(1)已知数列{a}的前n项和为S，a＝1，a

nn1n1

＋

＝2S＋1(n∈N)，等差数列{b}中，b＞0(n∈N)，且b＋b＋b＝15，**

nnn123

又a＋b，a＋b，a＋b成等比数列，则数列{b}的通项公式b＝

112233nn

(C)

A．20n－20B．14－4n

C．2n＋1D．20n－10

解析：因为a＝1，a＝2S＋1(n∈N)，*

1n1n

＋

所以a＝2S＋1(n∈N，n≥2)，*

nn1

－

所以a－a＝2(S－S)，

n1nnn1

＋－

所以a－a＝2a，

n1nn

＋

所以a＝3a(n∈N，n≥2)，*

n1n

＋

而a＝2a＋1＝3＝3a，所以a＝3a(n∈N)，*

211n1n

＋

所以数列{a}是以1为首项，3为公比的等比数列，

n

－

n1

所以a＝3，所以a＝1，a＝3，a＝9，

n123

在等差数列{b}中，因为b＋b＋b＝15，所以b＝5.

n1232

又因为a＋b，a＋b，a＋b成等比数列，

112233

即(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，

解得d＝2，或d＝－10，

因为b＞0(n∈N)，所以d＝－10(舍去)，*

n

故d＝2，故b＝3，b＝2n＋1.

1n

(2)(2019·石家庄摸底)设公差不为0的等差数列{a}的前n项和为

n

S，若a，a，a成等比数列，且a＝2(S－S)(m＞n＞0，m，n∈

n251111mn

N)，则m＋n的值是9.*

解析：设等差数列{a}的公差为d(d≠0)，

n

因为a，a，a成等比数列，

2511

所以a＝aa，所以(a＋4d)