数列通项公式几种求法的文献综述 毕业论文.doc
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数列通项公式几种求法的文献综述
摘 要; 从近几年高考的内容来看,数列是高考的重点内容,数列在实践和理论中均有较高的价值,而数列的列通项公式是数列的核心内容之一。本文从2000-2013年高考求数列通项公式有关资料查阅,对数列通项公式的常用方法做一个文献综述。
关键词;数列、通项公式、求法、综述
.
高中教材中的数列有利于发展学生的发散思维能力和创新能力,数列在高中数学中占有重要的地位,也是高考的考点点,常常以择题、填空、解答题的形式出现,它可以与函数、方程、不等式、解析几何等知识相综合,数列在实践生活中的应用也较为广泛,例如,楼梯问题,人口增长问题,存款问题,分期付款问题,而数列的通项公式是解数列问题的突破口、关键点。数列的通项公式如同函数的解析式一样,知道数列的通项公式从而知道数列的每一项,因此,数列通项公式的解法,不仅为我们解决数列问题提供了解题思路,也有利于知识系统的理解和记忆。例如文献[1]通过分析几种教材中简单数列的性质和给出他们通项公式的求解方法,并分析了几种种常见方法的区别和联系,文献[5]阐述了数列构造法的定义,构造数列是利用初等代数的思想,通过待定系数法构造一个新的等比数列,从而利用等比数列的性质求出原来数列的通项公式。在文献[11]中,介绍了特征方程来求解数列通项公式与构造法相比,其中定义了二阶线性递推数列的特征方程为,构造法是高考解答递推数列的基本方法,而特征数列是竞赛数列的常用方法,以上文献对数列通项公式的求解应用方面只作为单方面的介绍。而有些没有通过实例加以说明,所以我将对这方面的内容加以综述,下面我们谈谈求数列通项公式的几种重要的解法。
一,利用公式的方法
[例1](2011.福建高考,文,17)已知等差数列中,=1,=3,求数列的通项公式
解;设等差数列的公差为d,则
由 可得
解得d=2 从而
[例2](2011.全国卷,文 17)设等比数列的前n项和为,已知,6,求和
解;设等比数列的公比为q,由题得
解得或
当,时,,
当,时,,
二,利用前 项和与通项关系的方法
[例3](2008.安徽高考,文19)已知数列的前项和,数列的前n项和,求数列,的通项公式.
解;由题知
对于n2时,=,=+
因为=,当时也成立
综上,的通项公式
把带入得,故
对于n2时,由,,
,
[例4](2009.浙江高考,文20)设为数列的项和,且=
,其中是常数,求及
解; 由=得
= (n2),也满足
所以,
此类题应重视分类讨论思想的应用,分,与2时的情况讨论,特别注意=中需要2,由-推得,当时,若也适合“”式,则统一合写,如果不适合,则要分开写
三,利用累加的方法
形如的题型利用累加法,如
,令带入得
......................
以上各式相加得
[例5](2010.新课标,理17)设数列中=2,,通项—
解;由已知当1时, 由题知
令
有
以上各式相加得解得=
[例6](2008.四川,文16)设数列中,,则通项= _
解;由
得,令
,以上各式相加得,又,所以
形如或=+ f(n) 类型的题,但要注意叠加时的项
数,以免加错,注意可能用到的的公式
+ + +=
四,利用累乘的方法
形如=f(n)或=可利用累乘法求
如=,变式为
令
=f(1),=f(2),=f(3) ,以上各式相乘得
……….. 得=
[例7] 已知数列中,,,求的通项公式
解:由条件知=,分别令n=1,,2,3………,n-1带入上式得=
分别令带入上式得=,= ,= ,=
以上各式相乘
又因为,所以
[例8] 设是首项为1的正项数列,且,它的通项公式=
解:已知等式可化为;(+)
解得+=0或,因为0(n)
所以=,分别令带入上式得=,
。
以上各式相乘得
又因为,所以的通项公式
五,利用构造数列的方法
1,形如(,为常数)
解题思路,两边可以加一个常数,,即,所以数列是一个以为公比,为首项的等比数列,
[例9] 已知数列中,,,求的通项公式
解;由题得,即,
所以数列是以2公比,6为首项的等比数列,,所以
2,形如,其中(为常数)
解题思路,两边同时除以,原式可化为
设,原式即可化为的类形,即化为前面讲的类型,
[例10](2008. 全国1,文19)在数列,,,设,证明:数列是等差数列
解:由已知,两边同时除以得
,即
又,因此是首项为1,公差为1的等差数列
[例11](2010.广东卷,理19)设数列的前项和为满足,其中,求的通项公式;
解;由已知,知
,两式相减,得,
又,也满足上式,所以对成立
两边同时除得,设,即
两边,所以是以为公比,为首项的等比数列,
,,即=,所以
3,构造差式
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