《新课预习讲义选修2-1第二章椭圆2椭圆的性质教师版doc.doc
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新课预习讲义
选修2－1：第二章椭圆（二）
§2.2.2椭圆的几何性质
●学习目标
1.掌握椭圆的简单几何性质
2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响.
3.通过椭圆标准方程的求法，体会一元二次方程的根与系数的关系的应用．
4.掌握椭圆的离心率的求法及其范围的确定．
5.掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题.
●学习重点：
1.椭圆的简单几何性质．(重点)
2.椭圆的方程和性质的应用及直线和椭圆的位置关系，相关的距离、弦长、中点等问题是考查的重点．
3.椭圆的第二定义，椭圆的焦点弦、焦半径及其相关问题.
●学习难点
1.本节常与几何图形、方程、不等式、平面向量等内容结合出题．
2.命题形式比较灵活，各种题型均有可能出现.，命题的形式多样化.
一、自学导航
●知识回顾：
复习1：椭圆的定义是____________________________________________________，
复习2：椭圆的标准方程是：①焦点在x轴上时，___________________，焦点在y轴上时_______________；
、、间的关系是_________________
复习3：椭圆上一点到左焦点的距离是，那么它到右焦点的距离是 ．
复习4：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ．
●预习教材：第43页——第51页的内容。
●自主梳理：
1、椭圆的几何性质：（1）范围；（2）对称性；（3）顶点（长轴、短轴、焦距）；（4）离心率；
2、椭圆的第二定义及椭圆的准线方程（教材第51页）
●预习检测：
1．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )
A. B.C. D.
解析： 将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋＝1，
则a2＝1，b2＝，即a＝1，b＝，所以c＝，故离心率e＝＝.故选A.
2．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1或＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析： 由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是＋＝1.故选C.
．已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是( )
A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上
解析： ＋＝1，则点(－2,3)、点(－2，－3)、点(2，－3)在椭圆上．故选D.
．已知点(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．
解析： 设截得的线段为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点坐标为(x0，y0)，利用“点差法”得＝－，即·＝－，k＝＝－，
直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
x＋2y－8＝0
5．过椭圆＋＝1的左焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求弦AB的长．
解析： 由椭圆方程得a2＝5，b2＝4，c2＝1，左焦点为(－1,0)．
直线AB的方程为y＝2(x＋1)
代入＋＝1得6x2＋10x＝0.x1＝0或x2＝－
|AB|＝＝
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 ? 标准方程 范围 ， ? ， 顶点 (±a,0)，(0，±b) ?(±a,0)，(0，±b) 轴长 短轴长＝，长轴长 焦点 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：坐标原点. 离心率 .
（二）椭圆的第二定义、准线方程、焦半径等
1、椭圆的第二定义：若动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数
，则动点的轨迹是一个椭圆.
2、椭圆的准线方程：若焦点在轴上，则左准线是；右准线是；
若焦点在轴上，则下准线是；上准线是；
3、椭圆上任意一点的焦半径（其中，为左焦点，为右焦点）：
，
（若焦点在轴上，其中，为下焦点，为上焦点，则，
●典例导析：
题型一、椭圆的简单几何性质
例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：
(1)4x2＋9y2＝36；
(2)m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)．
[思路点拨]
[解题过程] (1)将椭圆方程变形为＋＝1，a＝3，b＝2，c＝＝＝.
椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，
离心率e＝＝.
(2)椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)可化为＋＝1.m2＜4m2，＞，
椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距长c＝.
椭圆的长轴长2a
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