马尔可夫过程的研究及其应用.doc

马尔可夫过程的研究及其应用 概率论的思想通常都很微秒，即使在今天看来仍没有被很好地理解。尽管构成概率论的思想有点含糊，但是概率论的结果被应用在整个社会当中，当工程师估计核反应堆的安全时，他们用概率论确定某个部件及备用系统出故障的似然性。当工程师设计电话网络时，他们用概率论决定网络的容量是否足够处理预期的流量。当卫生部门的官员决定推荐或不推荐公众使用一种疫苗时，他们的决定部分的依据概率分析，即疫苗对个人的危害及保证公众健康的益处。概率论在工程实际、安全分析，乃至整个文化的决定中，都起着必不可少的作用。关于概率的信息虽然不能让我们肯定的预测接下来发生个什么，但是它允许我们预测某一事件或时间链的长期频率，而这个能力十分有用。概率论的思想不断渗透到我们的文化当中，人们逐渐熟悉运用概率论的语言思考大自然。 世界并不是完全确定的，不是每个“事件”都是已知“原因”的必然结果。当科学家们对自然了解的更多，他们才能认知现象—例如，气体或液体中分子的运动，或液体的波动。由此引入了人们对布朗运动的定性与定量描述。在人们思考布朗运动的同时，俄国数学家马尔可夫开始研究现在所谓的随机过程。在实际中遇到的很多随机现象有如下的共同特性：它的未来的演变，在已知它目前状态的条件下与以往的状况无关。描述这种随时间推进的随机现象的演变模型就是马尔可夫过程。例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。 　　20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942 年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程──扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径。近年来，鞅论方法也已渗透到马尔可夫过程的研究中，它与随机微分方程结合在一起，已成为目前处理多维扩散过程的工具。此外，马尔可夫过程与分析学中的位势论有密切的联系。对马尔可夫过程的研究，推动了位势理论的发展，并为研究偏微分方程提供了概率论的方法。最近十多年发展起来的吉布斯随机场和无穷粒子随机系统，是由于统计物理的需要而提出的。 马尔可夫随机场（Markov Random Field）包含两层意思。一是什么是马尔可夫，二是什么是随机场。 马尔可夫性（无后效性）的定义为：过程或系统在时刻所处的状态为已知的条件下，过程在时刻所处状态的条件分布，与过程在时刻之前所处的状态无关的特性成为马尔可夫性或无后效性。即：过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。马尔可夫一般是马尔可夫性质的简称。拿天气来打个比方。如果我们假定天气是马尔可夫的，其意思就是我们假设今天的天气仅仅与昨天的天气存在概率上的关联，而与前天及前天以前的天气没有关系。其它如传染病和谣言的传播规律，就是马尔可夫的。 随机场包含两个要素：位置（site），相空间（phase space）。当给每一个位置中按照某种分布随机赋予相空间的一个值之后，其全体就叫做随机场。我们不妨拿种地来打个比方。“位置”好比是一亩亩农田；“相空间”好比是种的各种庄稼。我们可以给不同的地种上不同的庄稼，这就好比给随机场的每个“位置”，赋予相空间里不同的值。所以，俗气点说，随机场就是在哪块地里种什么庄稼的事情。还是拿种地打比方，如果任何一块地里种的庄稼的种类仅仅与它邻近的地里种的庄稼的种类有关，与其它地方的庄稼的种类无关，那么这些地里种的庄稼的集合，就是一个马尔可夫随机场。 马尔可夫链，因安德烈?马尔可夫（A.A.Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。 马尔可夫链是随机变量X_1,X_2,X_3...的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而X_n的值则是在时间的状态。如果X_{n+1}对于过去状态的条件概率分布仅是