随机过程-马尔可夫过程应用.pdf

马尔可夫过程的应用 1 马氏过程概念及定义 马尔可夫过程，也称为“健忘”过程，是在20世纪初由前苏联学者马尔可 夫在研究随机过程中得到的，因而称马尔可夫过程，简称马氏过程。马尔科夫 过程是以概率论和随机过程理论为基础，运用随机数学模型及其马尔科夫过程 无后效性的特性来分析事物发展变化过程中有关数量关系的一种统计方法，是 一类重要的随机过程，它在信息理论、自动控制、数值计算、近代物理、工程 技术、生物科学、经济交通等领域都起到了非常重要的作用。 2 马尔可夫过程的应用 2.1 马氏过程理论在教学质量评估中的应用 马尔可夫链在教学评价中的应用是基于两次测验成绩基础上的，并假设教 学效果稳定，通过分析学生两次测验在不同成绩等级间的变化，构建转移概率 矩阵，以其稳定分布来衡量学生最终达到的成绩分布。根据教学规律与教学质 量评估的需要，马尔可夫链评估法较好地体现其在教学质量评估中的实用性与 有效性。 将学生在前一次考试中获得的成绩划分为若干等级—优、良、中、及格和 不及格，以各等级学生人数占总人数之比∏n/∏作为成绩的初始状态分布。对 最近一次阶段教学后的测试成绩，也将学生成绩按照优、良、中、及格和不及 格划分为5个等级，算出各等级所含学生的频数，并求出一步转移概率矩阵P： 假定教学效果稳定，即任意相邻两次测验后，学生数在不同成绩等级间的 转化率不变，也就是说—步转移概率矩阵不变，这使得学生成绩过程具有时齐 性，在假设成绩过程具备无后效性，亦即将来的成绩只与最近的成绩有关，而 与历史的成绩无关，则成绩过程构成一个时齐的马氏过程。 将求教学系统状态转移概率矩阵P的极限向量的步骤归纳如下： 1) 列出班级学生个体成绩等级转移表。 转移表除学生学号外，还有该生第一次考试的成绩，第2次考试的成绩以及 表明该生在两次考试中成绩转移的情况，ij表示该生从i等转向j等。 2) 计算转移概率矩阵P，矩阵P中元素P；由下式确定： 3) 求出转移概率矩阵P的平稳分布 设∏={ π,……, π}，由方程解∏=∏P出∏={ π,……，π}，∏={ π 1 5 1 5 ,……，π}即马尔可夫过程{X(n)}的平稳分布，也是状态的极限分布。它与初 1 5 始状态分布∏=n / n, ……, n / n)无关。 1 1 5 4) 设教学班级状态转移矩阵的平稳分布为∏={ π,……, π}它是教学效果 1 5 的量化指标，表明经过一系列教学活动，该班某门课成绩居于优的可能性为π ，居于良好的可能性为π，中等的可能性为π，属于及格的可能性为π，属 1 2 3 4 于不及格的可能性为π。 5 教学效果的齐次马氏链分析着眼于过程，重视“历史”，因此它比起其它 教学评估的方法来更符合具有紧密的前后联系的教学过程的实际情况。此法除 了用于教学效果的评价外，还可用于教学实验的对比评价、因材施教情况的分 析、标准考试的质量分析以及用于教师的自我检查和预测学生的变化，将上述 分析步骤编出计算机程序，应用将更加快捷。 2.2 马氏链在国际工程投标风险预测中的应用 图1为国际工程投标的过程。由图可见，系统的状态转移关系是：来承包公 司在某次投标的全过程中，系统先从“预研阶段”开始，然后或以q 的概率进 1 入“资格预审阶段”，或以r 的概率不参加投标而退出。若进入资格预审阶段 1 后，则或以q 的概率通过资格预审，或以r 的概率不能通过资格预审而“退 2 2 出”。若该公司已通过资格预审，并进入“投标阶段”，则或以q 的概率