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作大范围运动柔性薄板的刚柔耦合动力学理论与数值分析的中期报告

1.研究目的与意义

柔性薄板的刚柔耦合动力学分析是现代力学中的研究热点之一。该研究区别于传统力学中的刚体和弹性体模型，在典型的拓扑和材料参数下，可以表现出多种复杂的运动形式和非线性效应，如纵横波的耦合、非线性振动和流体-结构耦合等。因此，它在工业制造、地震和风力发电等领域具有广泛的应用前景。

本文主要研究柔性薄板刚柔耦合运动中的动力学特性和数值算法，分析发现板片的形变和运动受到板片本身内部刚度和失配、边界条件和激励力、周围流体的干扰等方面的影响，且这些影响之间呈现出复杂的相互作用和反馈。因此，需要建立适合板片模型的连续介质力学和非线性动力学模型，并采用有效的数值方法来求解。

本次中期报告旨在提供以下内容：

（1）深入研究柔性薄板的刚柔耦合动力学理论和数值模拟方法，以探索其特有的动力学现象和数值挑战。

（2）建立基于Kirchhoff板理论、有限元方法和谱方法的柔性薄板刚柔耦合模型，分析板片的位移、速度、加速度和应力等性质。

（3）开展数值实验来验证理论模型的有效性和可靠性，同时探讨板片内部强度的局部影响和非线性效应对板片运动的影响。

2.研究框架

本研究的框架如下图：


（1）板片形变的连续介质力学描述

柔性薄板的形变可以通过位移场的连续介质力学理论来描述。板片的Kirchhoff大位移理论将板片在全局坐标系下的原始坐标和变形坐标联系起来。为了使用有限元方法，在柔性薄板上建立了一个容易分割的系统，使得在一个复杂的结构上执行仿真和优化的问题成为可能。

（2）板片运动的动力学形式

一个柔性薄板的运动可以由其自身的动力学方程和与周围流体耦合的运动方程来描述。

自身的动力学方程包括基于柔性薄板的形变，质量和动量的总体方程。而与周围流体的运动方程描述了薄板与流体之间的相互作用，可以采用如势流理论来描述。

（3）板片的有限元分析

有限元方法是一种常见的数值方法，它将连续介质的运动方程转化为离散化的代数方程组。通过将板片分解为一个或多个有限元，每个元素的运动状态可以用离散化的节点位移来表示，从而建立离散化的模型和有限机械振动，利用弱形式和系数矩阵，将离散化的动力学方程离散化。

（4）板片的谱方法分析

谱方法是一种高分辨率的数值方法，其主要思想是使用一组基函数，比如傅里叶基函数，将要求的量在频域上进行展开。通过对频谱系数进行求解，谱方法可用于计算包括复杂界面运动在内的各种问题中的解。

3.进展与计划

目前，我们已经完成了柔性薄板的Kirchhoff板理论模型，包括板片的形变、运动和应力分析。然后，我们基于该理论模型，建立了使用时间积分有限元法进行求解的板片动力学的数值模型，探究板片刚柔耦合的动力学特性。

下一步，我们的计划是进一步研究板片的谱方法分析，尤其是谱方法对板片非线性效应的影响。我们还将进行更加细致的数值实验，以验证模型的有效性和可靠性，并考虑引入流体-结构耦合等因素来更好地描述板片的复杂运动行为。

最终，我们将继续完善柔性薄板的刚柔耦合动力学理论和数值分析方法，并在风力发电、地震模拟等领域取得重要应用。