2017年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题33空间向量及其运算.doc

1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置 2.会简单应用空间两点间的距离公式 3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 热点题型一 空间向量的运算 例1、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点。 (1)化简：→－12→－12→； (2)设E是棱DD1上的点，且→＝23→，若→＝x→＋y→＋z→，试求x、y、z的值。 【解析】(1)∵→＋→＝→， ∴→－12→－12→＝→－12(→＋→)＝→－12→ ＝→－→＝→。 (2)∵→＝→＋→＝23→＋12→ ＝23→＋12(→＋→)＝23→＋12→＋12→ ＝12→－12→－23→， ∴x＝12，y＝－12，z＝－23。 【提分秘籍】 空间向量的表示方法 用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来。 【举一反三】 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若→＝a，→＝b，→＝c，则下列向量中与→相等的向量是(　　) A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C.12a－12b＋c D．－12a－12b＋c 【解析】→＝→＋→＝→＋12(→＋→) ＝→＋12(→＋→) ＝c＋12(－a＋b) ＝－12a＋12b＋c。 【答案】A 热点题型二 共线、共面向量定理的应用 例2、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)求证：BD∥平面EFGH。 (2)因为→＝→－→ ＝12→－12→ ＝12(→－→)＝12→， 所以EH∥BD。 又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH。 【提分秘籍】 应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较： 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 →＝λ→ →＝x→＋y→ 对空间任一点O，→＝→＋t→(t为参数) 对空间任一点O，→＝→＋x→＋y→ 对空间任一点O，→＝(1－t)→＋t→(t为参数) 对空间任一点O，→＝(1－x－y)→＋x→＋y→ 【举一反三】 已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝13(→＋→＋→)。 (1)判断→，→，→三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内。 热点题型三 空间向量数量积的运算 例3．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)→·→。 (2)→·→。 ＝－12→＋12→＋12→＝－12a＋12b＋12c， →＝→－→＝c－a。 所以→·→＝\a\vs4\al\co1(－\f(1112)c·(c－a)＝12a2－12a·b＋12b·c＋12c2－a·c ＝12－14＋14＋12－12＝12。 【提分秘籍】 1．空间向量数量积计算的两种方法 (1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉。 (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， 则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2。 2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题 (1)a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0。 (2)|a|＝a2。 (3)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|。 【举一反三】 已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，→＋λ→与→的夹角为120°，则λ的值为(　　) A．±6)6 B.6)6 C．－6)6 D．±6 【解析】→＋λ→＝(1，－λ，λ)， cos120°＝λ＋λ\r(1＋2λ2)·\r(2)＝－12，得λ＝±6)6。 经检验λ＝6)6不合题意，舍去，∴λ＝－6)6。 【答案】C 1.【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）. 由得.所以，. 于是， 故. 又，而， 所以. （Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，是. 2.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线. （I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； （II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】 （II）解法一： 连接,