高考复数知识点总结.doc

复 数 1．复数的概念： （1）虚数单位i； （2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集 3．复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。 应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。 4．复数的四则运算 若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i； （4）除法：； （5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 （6）特殊复数的运算： ① (n为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i； ③ 若ω=-+i，则ω3=1，1+ω+ω2=0. 5．共轭复数与复数的模 （1）若z=a+bi，则，为实数，为纯虚数(b≠0). （2）复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2. 6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 4．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。 5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=－1结合到实际运算过程中去。 如(a+bi)(a－bi)= a2+b2 6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。 由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即. 7．复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。 （二）典型例题讲解 1．复数的概念 例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈R，求x, y. 解：根据复数相等的意义，得方程组，得x=, y=4. 例4．当m为何实数时，复数z＝+(m2+3m－10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数． 解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法． （1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即， 解得m=2，∴ m=2时，z为实数。 （2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即， 解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时，z为虚数．， 解得m=－, ∴当m=－时，z为纯虚数． 诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求． 例5．计算：i＋i2＋i3+……+i2005. 解：此题主要考查in的周期性． i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005 =(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i ＝0＋0＋……＋0+i＝i. 或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in的周期及合理分组． 例8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝ . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10, 且虚数不能比较大小， ∴，解得，∴ m=3. 当m＝3时，原不等式成立． 诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。 例9．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且 ，求z． 解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法． ∵ ，∴，∴， 解得或, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i． 诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 2．复数的四则运算 例1．计算： （1），n∈N+； （2）若ω=－+i，ω3=1，计算； （4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99. 解：（1）= =. （2）= =－2. （4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99 =(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+