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第六章 正弦电流电路基础 §6-1 正弦量 一．正弦量：随时间按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i、u表示。 周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。 周期T：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S）； 频率f： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz）。 显然，周期和频率互为倒数，即f=1/T。 交变量：一个周期量在一个周期内的平均值为零。可见，正弦量不仅是周期量，而且还是交变量。 二．正弦量的表达式 1. 函数表示法： —最大值，反映正弦量在整个变化过程中所能达到的最大值； —相位，反映正弦量变动的进程； —角频率（），反映正弦量变化的快慢。 —初相位，反映正弦量初值的大小、正负。 ，，—正弦量的三要素。 已知， 则。 2. 波形表示法 ， 。当时，最大值点由坐标原点左移。如下图。 三．两个同频率正弦量的相位差 设 则u(t)与i(t)的相位差 可见，对两个同频率的正弦量来说，相位差在任何瞬时都是一个常数，即等于它们的初相之差，而与时间无关。φ的单位为rad(弧度)或? (度)。主值范围为|φ|≤π。 如果φ＝Ψu ?Ψi0 (如下图所示)，则称电压u的相位超前电流i的相位一个角度度φ，简称电压u超前电流i角度φ，意指在波形图中，由坐标原点向右看，电压u先到达其第一个正的最大值，经过φ，电流i到达其第一个正的最大值。反过来也可以说电流i滞后电压u角度φ。 如果φ＝Ψu ?Ψi＜0，则结论刚好与上述情况相反，即电压u滞后电流i一个角度|φ|，或电流i超前电压u一个角度|φ|。 又设 （1） 当，则，与同相。如下图φ＝Ψu ?Ψi=0 。 （2） 当，，与正交。如下图（这里φ=Ψ－Ψ2＝+π/2） （3） 当,,与反相。 注意：1. 函数 2. 函数表达式前的正、负号要一致。当。 3. 当两个同频率正弦量的计时起点(即波形图中的坐标原点)改变时，它们的初相也跟着改变，但它们的相位差却保持不变。所以两个同频率正弦量的相位差与计时起点的选择无关。 §6-2正弦量的有效值 —任意周期函数 —方均根值 可见，周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值取平方根。因此，有效值又称为方均根值。 当周期量为正弦量时，将代人上式得 其中 所以 只适用于正弦量 这样正弦量的数学表达式写为 。 因此，正弦量的有效值可以代替最大值作为它的一个要素。 对于正弦电流i＝Imcos(ωt+φi) 的有效值为 I=Im/=0.707Im 同理，正弦电压u＝Umcos(ωt+φu)的有效值为 U＝Um /＝0.707Um 在工程上，一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。例如交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值。我国所使用的单相正弦电源的电压U=220V，就是正弦电压的有效值，它的最大值Um＝U＝1.414×220＝311V。 应当指出，并非在一切场合都用有效值来表征正弦量的大小。例如，在确定各种交流电气设备的耐压值时，就应按电压的最大值来考虑。 §6-3 相量法的基本概念 一 相量： 令正弦量，根据欧拉公式，可知 ，取 则 于是 —最大值相量。 可以表示一个正弦量的复值常数称为相量。 —有效值相量 上述表明，可以通过数学的方法，把一个实数域的正弦时间函数与一个复数域的复指数函数一一对应起来，而复指数函数的复常数部分是用正弦量的有效值（最大值）和初相结合成一个复数表示出来的。运用相量进行正弦稳态电路的分析和计算，可同时将正弦量（最大值）的有效值和初相计算出来。有效值（最大值）上方加的小圆点是用来与普通复数相区别的记号，在数学运算上与一般复数的运算并无区别。 相量既然是复数，它也可以在复平面上用一条有向线段表示。如下图所示为正弦电流i＝Icos (ωt+Ψi)的相量，其中Ψi＞0。相量的长度是正弦电流的有效值I，相量与正实轴的夹角是正弦电流的初相。这种表示相量的图称为相量图。为了简化起见，相量图中不画出虚轴，而实轴改画为水平的虚线，如下图所示。 二 旋转因子 复指数函数的另一部分ejωt，是一个随时间变化的旋转因子，它在复平面上是一个以原点为中心、以角速度ω等速旋转、模为l的复数。 取 ； 取 ； 于是—旋转因子。 三．