第七章分析和总结.docx

第七章实数的完备性 (9 学时) §1 关于实数完备性的基本定理 教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法. 教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理. 难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明.. 学时安排: 4 学时 教学方法: 讲授法. 教学过程如下: 一、区间套定理与柯西收敛准则 n n定义 1 设闭区间列{[ a , b ]} n n （1 ?）[ a , b ] ? [ a , b ], n ? （1 ?） n n n ?1 n ?1 lim (b （2） n ? ? n ? a ) ? 0 n n n则称{[ a , b ]} 为闭区间套，或简称区间套 n n n nn n定理 7.1(区间套定理) 若{[ a , b ]} 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点 ? 使得? ? [ a , b ], n ? 1, 2, ? n n n n 证: 先证存在性 a ? ? ? b n n , n ? 1, 2, ? . ?{[ a , b ? n n ]} 是一个区间套, 所以 a ? a ? ? a ?2 n ? ? ? b ?n ? ? ? ? b ? b , 2 1 可设1? lim an ? ? 可设 1 n ? ? 且由条件 2 有 lim b n n ? ? ? lim (b n n ? ? a ? b n n ) ? lim a ? ? n n ? ? n n由单调有界定理的证明过程有 a ? ? ? b , n ? 1, 2, ? n n 再证唯一性 n n设? ? 也满足 a ? ? ? ? b , n ? 1, 2, ? . 那么 n n ? ? ? ? ? b ? a , n ? 1, 2, . ?n n ? n ? ?由区间套的条件 2 得 ? ? ? ? ? lim (bn ? an ) ? 0 故有? ? ? n ? ? n n n n推论 若? ? [ a , b ]( n ? 1, 2, ? ) 是区间套{[ a , b ]} 所确定的点, 则对任给的? ? 0 n n n n 存在 N ? 0 ,使得当 n ? N 时 有 [ a , b n n ] ? U (? , ? ) 柯西收敛准则 数列{an } 收敛的充要条件是 : 对任给的 ? ? 0 , 存在 N ? 0 , 使得对 m , n ? N 有 | am ? an |? ? . 证 [必要性] 略. [ 充分性] 已知条件可改为： 对任给的 ? ? 0 , 存在 N ? 0 , 使得对 m , n ? N 有 | am ? an |? ? . m n取 m ? N ，有对任给的? ? 0 ,存在 N ? 0 ,使得对n ? N 有| a ? a |? ? m n N N n n在区间[ a ? ? , a ? ? ] 内含有{a } 中几乎所有的项（指的是 {a } 中除有限项的所有 N N n n ? ? 1 1? 令 2 则存在 N 1  [ a ，在区间 N 1 ? 1 , a 2 N 1 ? 1 ] n2 内含有{a n  } 中几乎所有的项， 1 1记该区间为[? , ? ] 1 1 ? ? 1  [ a ? 1 , a  n? 1 ] n 再令 2 2 则存在 N 项， ( ? N 2 1 ) ，在区间 N 1 2 2 N 1 2 2 内含有{a } 中几乎所有的 记该区间为满足 [? , ? 2 2  ] ? [ a N 1 ? 1 , a 2 2 N 1 1 ? ] ? [? , ? ] 2 2 1 1  n也含有{a n  } 中几乎所有的项 , 且 [? , ? 1 1 1 及2] ? [? , ? ] ? 2 ? ? 2 ? . 及 2 2 2 依次继续令 ? ? 1 23 1 ,? , 2 n ,? ,  nn得一区间列{[ ? , ? n n  n]} ,其中每个区间中都含有{a } 中 n 几乎所有的项,且满足  ?[? , ? ] ? [? , ? ], n ? 1, 2, ; ? n n n ?1 n ?1 ? ? ? n n ? 1 2 n ?1 ? 0( n ? ? ), n n n n即时{[ ? , ? ]} 是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数? ? [? , ? ], n ? 1, 2, ? n n n n n ? ?再证lim an ? ? .由定理 7.1 的推论对任给的? ? 0 ,存在 N ? 0 ,使得当n ? n ? ? [? , ? n n ] ? U (? , ?