2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-083圆锥曲线解答题b.doc

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编 08圆锥曲线 三、解答题(第二部分) 26、＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。 （1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON ； （2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。 解：(1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为： ① ………2分 易知右焦点F的坐标为（）， 据题意有AB所在的直线方程为： ② ………3分 由①，②有： ③ 设，弦AB的中点，由③及韦达定理有： 所以，即为所求。 ………5分 (2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有： ，所以 。 ………7分 又点在椭圆C上，所以有整理为。 ④ 由③有：。所以 ⑤ 又A﹑B在椭圆上，故有 ⑥ 将⑤，⑥代入④可得：。 ………11分 对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而 在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然 。 也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。 27、的距离小1。 （1）求曲线C的方程； （2）过点 ①当的方程； ②当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求的值。 （1）解法一：设， …………1分 即 当； …………3分 当 …………4分 化简得不合 故点M的轨迹C的方程是 …………5分 （1）解法二：的距离小于1， ∴点M在直线l的上方， 点M到F（1，0）的距离与它到直线的距离相等 …………3分 所以曲线C的方程为 …………5分 （2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意， 设直线m的方程为， 代入 （☆） …………6分 与曲线C恒有两个不同的交点 设交点A，B的坐标分别为， 则 …………7分 ①由， …………9分 ② 点O到直线m的距离， …………10分 ， （舍去） …………12分 当方程（☆）的解为 若 若 …………13分 当方程（☆）的解为 若 若 …………14分 所以， 28、的直线过椭圆C：＝＞＞0，)，椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上。 ⑴求椭圆C的方程。 ⑵过点E(-2，0）交椭圆C于点M、N，且满足，(O为坐标原点)，求直线的方程。 解：⑴直线①，过原点垂直于的直线方程为② 解①②得，∵椭圆中心O(0，0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上， ∴， …………………（2分） ∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴， 故椭圆C的方程为 ③…………………（4分） ⑵当直线的斜率存在时，设 ，代入③并整理得 ，设， 则……………（5分） ∴，……（7分） 点到直线的距离. ∵，即， 又由 得 ， ∴，…………………………（9分） 而，∴，即， 解得，此时 …………………………………（11分） 当直线的斜率不存在时，，也有， 经检验，上述直线均满足， 故直线的方程为 29、，点满足，记点的轨迹为. （Ⅰ）求轨迹的方程； （Ⅱ）若直线过点且与轨迹交于、两点. （i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. （ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围. 解：（Ⅰ）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹E的方程为…（3分） （Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、， ∴， 解得 ………………………………………（5分） （i）∵ ……………………（7分） 假设存在实数，使得， 故得对任意的恒成立， ∴，解得 ∴当时，. 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立， 综上，存在，使得. …………………………………………（8分） （ii）∵，∴直线是双曲线的右准线，…………………………（9分） 由双曲线定义得：，， 方法一：∴ …………………………………………（10分） ∵