2015年国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案.doc

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1～8小题每小题4分共32分.下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.在连续，其2阶导函数的图形如下图所示，则曲线的拐点个数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由的图形可知，曲线存在两个拐点，故选(C). 2、设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则（） （A） （B） （C） （D） 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】为齐次方程的解，所以2、1为特征方程的根，从而再将特解代入方程得： 3、若级数条件收敛，则与依次为幂级数的： （A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点 （C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为条件收敛，故为幂级数的条件收敛点，进而得的收敛半径为1，收敛区间为，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间仍为，因而与依次为幂级数的收敛点、发散点. 4、设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由得，由得， 由得， 由得， 所以 ，，若集合，则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为 （A） （B） （C） （D） 【答案】(D) 【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★ 【详解】 有无穷多解 或且或 在正交变换下的标准形为，其中 ，若，则在正交变换下的标准形为 （A） （B） （C） （D） 【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★ 【详解】由，故且： 所以，故选(A) 7、若为任意两个随机事件，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】(C) 【考点】 【难易度】★★ 【详解】 故选不相关，且则 （A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5 【答案】(D) 【考点】 【难易度】★★★ 【详解】 二、填空题9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. 【答案】 【考点】极限的计算 【难易度】★★ 【详解】 10、 【答案】 【考点】积分的计算 【难易度】★★ 【详解】 11、若函数由方程确定，则. 【答案】 【考点】隐函数求导 【难易度】★★ 【详解】令，则，，，又当时，，所以，，因而 12、设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域，则 【答案】 【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】由轮换对称性，得 其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以 13、n阶行列式 【答案】 【考点】行列式的计算 【难易度】★★★ 【详解】按第一行展开得 14、设二维随机变量服从正态分布，则. 【答案】 【考点】 【难易度】★★ 【详解】，且独立 三、解答题15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.，，若与在是等价无穷小，求，，值。 【考点】等价无穷小量，极限的计算 【难易度】★★★ 【详解】 是等价无穷小 定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及x轴所围成的区域的面积为4，且，求的表达式. 【考点】微分方程 【难易度】★★★ 【详解】如下图： 处的切线方程为： 与轴的交点为：时，，则， 因此，.即满足微分方程：，解得：. 又因，所以，故. ，曲线，求在曲线上的最大方向导数. 【考点】方向导数，条件极值 【难易度】★★★ 【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故 故在曲线上的最大方向导数为，其中满足，即就求函数在约束条件下的最值. 构造拉格朗日函数 令可得 其中 综上根据题意可知在曲线上的最大方向导数为. 18、（本题满分10分） (Ⅰ)设函数可导，利用导数定义证明 (Ⅱ)设函数可导，写出的求导公式. 【考点】导数定义 【难易度】★★ 【详解】 19、（本题满分10分） 已知曲线的方程为起点为，终点为，计算曲线积分 【考点】曲线积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】曲线的参数方程为从到 20、（本题满分11分） 设向量组是3维向量空间的一个基，，，。 （Ⅰ）证明向量组是的一个基； （Ⅱ）当k