2015年荐2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题.doc

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学试题 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ()设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】（C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选（C）. (2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】（A） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以2,1为特征方程的根，从而，，从而原方程变为，再将特解代入得.故选（A） (3) 若级数条件收敛，则 与依次为幂级数的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，收敛区间为.而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间还是.因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.故选（B）. (4) 设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】（B） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D的图形， 所以，故选（B） (5) 设矩阵，，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】， (6)设二次型 在正交为 的标准为 其中 若 则正交变换的标准形为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(A) 【解析】由，故.且 . 所以。选（A） (7) 若A,B为任意随机事件，则( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C) 【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C) . (8)设随机变量，，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(D) 【解析】 ，选(D) . 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 【答案】 【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一： 方法二： (10) 【答案】 【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】 (11)若函数由方程确定，则 【答案】 【分析】此题考查隐函数求导. 【解析】令，则 又当时，即. 所以，因而 (12)设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则 【答案】 【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得 ， 其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以 (13) 阶行列式 【答案】 【解析】按第一行展开得 (14)设二维随机变量服从正态分布，则 【答案】 【解析】由题设知，，而且相互独立，从而 . 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分分)函数，若在是等价无穷小，求 【解析】法一：原式 即 法二： 因为分子的极限为0，则 ，分子的极限为0， ， (16)(本题满分分) 【答案】. 【解析】设在点处的切线方程为： 令，得到， 故由题意，，即，可以转化