第一部分 第三单元 小专题 二次函数与几何图形综合题.doc
1．(2024·常州)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C．
(1)OC＝________；
(2)如图，已知点A的坐标是(－1，0).
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s－t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点(点B除外)，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
解：(1)由抛物线的表达式知，c＝3，即OC＝3；
(2)将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝－1－b＋3，则b＝2，
即抛物线的表达式为：y＝－x2＋2x＋3，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为：(1，4)，点B(3，0)；
①当1≤x≤m，且m＞1时，x＝1时，y取得最大值，即s＝4，
当x＝m时，y取得最小值为t＝－m2＋2m＋3，
则4－(－m2＋2m＋3)＝2，
解得m＝1＋eq\r(2)(不合题意的值已舍去)；
②设点P(m，－m2＋2m＋3)，则点D(m，0)，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝3x＋3，
当点P在x轴上方时，如图，
∵∠DPQ＝∠ACO，
则直线PQ的表达式为：
y＝3(x－m)－m2＋2m＋3，
则点Q(0，－m2－m＋3)，
由点P、C、D、Q的坐标得，
DQ2＝m2＋(－m2－m＋3)2，
PC2＝m2＋(－m2＋2m)2，
∵DQ＝PC，即m2＋(－m2－m＋3)2＝m2＋(－m2＋2m)2，
解得m＝－1(舍去)或1或1.5；
当点P在x轴下方时，
同理可得：点Q(0，－m2＋5m＋3)，
则DQ2＝m2＋(－m2＋5m＋3)2＝PC2＝m2＋(－m2＋2m)2，
解得m＝－1(舍去)或eq\f(7－\r(73),4)(舍去)或eq\f(7＋\r(73),4).
综上，点P的横坐标为：1或1.5或eq\f(7＋\r(73),4).
2．(2024·临夏州)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，作直线BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由；
(3)如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC(点N在直线BC下方)，已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围.
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c－b＝1,c＋3b＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2,c＝3，))
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)如图，过点P作PN⊥AB于点N，交BC于点M.
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴直线BC的解析式为
y＝－x＋3，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝45°，
∵∠MNB＝90°，
∴∠PMQ＝∠NMB＝45°，
∵PQ⊥BC，
∴△PQM是等腰直角三角形，
∴PM＝eq\r(2)PQ，
∴PM的值最大时，PQ的值最大，
设P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)，
∴PM＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，
∵－1＜0，
∴当m＝eq\f(3,2)时，PM的值最大，PM的最大值为－eq\f(9,4)＋eq\f(9,2)＝eq\f(9,4)，－m2＋2m＋3＝－eq\f(9,4)＋3＋3＝eq\f(15,4)，
∴PQ的最大值＝eq\f(\r(2),2)PM＝eq\f(9\r(2),8)，此时P(eq\f(3,2)，eq\f(15,4))；
(3)设M(a，－a＋3)，则N(a，－a＋1)，
当点N在抛物线上时，－a＋1＝－a2＋2a＋3，
∴a2－3a－2＝0，解得a1＝eq\f(3－\r(17),2)，a2＝eq\f(3＋\r(17),2).
∵线段MN与抛物线有交点，
∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为eq\f(3－\r(17),2)≤xM≤0或3≤xM≤eq\f(3＋\r(17),2).
3．(2024·巴中)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标；
(3)如图2