高中数学讲义微专题62 点线面位置关系.pdf

微专题62点线面位置关系的判定

一、基础知识

(-)直线与直线位置关系：

1、线线平行的判定

(1)平行公理：空间平行于同一直线的两条直线平行

(2)线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该

直线平行

(3)面面平行性质：

2、线线垂直的判定

(1)两条平行直线，如果其一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直

直线与平面位置关系：

(2)线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直

(二)直线与平面的位置关系

1、线面平行判定定理：

(1)若平面外的一条直线/与平面a上的一条直线平行，则/〃a

(2)若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行

2、线面垂直的判定：

(1)若直线/与平面a上的两条相交直线垂直，则

(2)两条平行线若其一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直

(3)如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直

(三)平面与平面的位置关系

1、平面与平面平行的判定：

(1)如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行

(2)平行于同一个平面的两个平面平行

2、平面与平面垂直的判定

如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直

(四)利用空间向量判断线面位置关系

1刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量

平面：法向量

2、向量关系与线面关系的转化：

设直线〃力对应的法向量为。1,平面a,〃对应的法向量为机(其凡。在外)

(1)a//b=a//b

(2)a_Lb=a

(3)aLa=a//m

(4)a//aoaVm

(5)a//f3=m//n

(6)aL/3mA_n

3、有关向量关系的结论

(1)若£〃及B〃乙则£〃2平行+平行一平行

(2)若〃入则£，平行+垂直一垂直

(3)若则Q,C的位置关系不定。

4、如何用向量判断位置关系命题真假

(1)条件的线面关系翻译成向量关系

(2)确定由条件能否得到结论

(3)将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假

二、典型例题：

例1：已知a,/?是两个不同的平面，相，〃是两条不同的直线，现给出下列命题：

①若mua,nua,m〃仇〃〃B、则a〃,；

②若a_1_民ua,则加_L力；

③若m±a,m//[5,则aJ_4；

④若根〃〃，mua,则〃〃a.

其正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

思路：①为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而①加，〃不一定相交。所以

无法判定面面平行；②为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面

垂直。而②m不一定与交线垂直。所以不成立；③可用向量判定，设a,夕对应法向量为m,n,

直线加方向向量为a,则条件转换为：a//m,a±n,可推得mJ.〃，即a_L尸，③正确；

④为线面平行判定，要求“在a夕卜，所以④错误；综上只有1个命题正确

答案：B

例2：已知是不同的直线，a,£是不同的平面，以下命题正确的是（）

//n,mua,〃u。,则a〃/?；

mua,nu。,a//p,IVm,贝

③_La,〃J_p,a〃夕，则〃？〃〃；

a_L，，m//a,n//(3,WJm