2025年兰州市高三诊断考试数学答案.docx

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2025年兰州市高三诊断考试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.B2.A3.D4.B5.C6.A7.D8.A

8.【解析】设双曲线的方程为x2a2?

所以c=

(1)当过点F2的直线与双曲线C右支交于A,B两点如图1所示.

由|BF2

则|AB|=|AF

∴|AF1

在ΔBAF1

cos∠F1AB=(3a

|

即28=9a2

所以双曲线C的方程为x23?

(2))当过点F2的直线与双曲线C两支交于A,B两点如图2所示由|BF2

综合(1)(2)两种情况：双曲线的渐近线方程为y=±2

图2

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分)

9.ABD10.BC11.AD

11.【解析】

由于x∈(0,+∞),x?1000100000

当x100时，1001x1000x+100,故当x100110000

x

故必有x0∈(100010000,100

对于任意正数N1,当x(1001N)

x

取a=(1001N)10000,当x∈(a,+∞)时，对于任意大于1的正实数N,g(x)?Nf(x)因此D正确，而当N=2

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.4313.314.

14.【解析】正方体ABCD?A1B1C1D1的中心是内切球球心，设为O,O到平面A1BD的距离为d,A到平面A1BD

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤）

15.【解析】(1)证明：AE=BE2

所以∴AC//EF,AC平面B1EF,EF?

所以AC//平面B

(2)如图所示：以D为坐标原点，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为

则三棱锥B1?BEF的体积V=

设平面BEF的法向量为n,则n?EB→,n?EF

则

B(3,3,0),B(3,3,3),E(1,0,0),F(0,1,0),

设直线BB1与平面B1EF

所以直线BB1与平面B1

16.【解析】(1)设事件Ai(i可取1，2，3，4)表示第i次抽到春季卡，

3，4)表示第j一次抽到夏季卡，事件C表示抽3次即获奖，则C=

∴P(C)=P(B

P(B

(3)设事件D表示获奖，则∴D=(

且B1

∴P(D)=P(B1

P(

P(

P(

P(D)=

又因为参加抽奖是否获奖相互独立，用随机变量X表示参加活动获奖的人数，若促销的30天中预计有360人参加活动，则X~B(360,112),所以E(X)=360×

17.【解析】(1)若焦点在x轴，可知b=2,a=

所以椭圆的方程为x

若焦点在y轴，可知a=2,a=

所以椭圆的方程为y2

(2)若焦点在x轴，椭圆的方程为x2

若直线AB斜率不存在，则B在y轴上，显然满足题意：

若直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+

由{x2+2y

由于直线BQ的斜串为k

由{x2

即(2k2

所以直线AC的斜率k

由于直线AB:y=kx+2(k≠0)

直线AC:y=1k

所以直线AC与圆P相切，

若焦点在y轴，显然不成立，无需证明…..15分

18.【解析】(1)设等差数列{an}公差为

解得d=1,所以an

(2)证明：设f(x)=lnx?x+1,f′(x)=1x?1=0,x≥1时，f′(x)≤0,f(x)单调递减，∴f(x)

(3)因为(1+1b1

ln[(1+1b1

所以(1+1

19.【解析】(1)因为

sin(y+2nπ)=siny,所以当P(x,y)在曲线

且m,n不同时为0)必在曲线S上，故存在向量使曲线S具有周期性，向量a=(2mπ,2nπ),

(m,n∈Z,且m,n不同时为0)，(m,n取一个符合要求的值即可).…..4分

(2)因为cos