第四章多服务排队模型MMn….pptx

多服务排队模型MM/M/n/K探讨多个服务窗口的排队系统,客户以泊松分布到达,服务时间服从指数分布,系统容量有限。通过分析此类模型的性能指标,为实际应用提供依据。作者：

基本假设独立到达过程外部请求按照泊松分布到达系统。独立服务时间每个服务台的服务时间服从指数分布。固定服务台数系统有固定数量的服务台提供并行服务。有限缓冲区系统具有有限的缓冲区容量，超出的请求会被拒绝。

多服务系统的状态描述多服务系统可以用状态变量(n,i)来描述系统状态,其中n表示当前在系统中的客户数量,i代表正在接受服务的客户数量。在任意时刻,系统状态(n,i)必须满足0≤i≤n≤K,其中K为系统的缓冲容量。当系统处于状态(n,i)时,意味着有n个客户在系统中,其中i个正在接受服务,剩余的n-i个正在等待。系统中可能出现的所有状态构成了系统的状态空间。

系统状态转移1到达状态新顾客到来时系统的状态2服务状态顾客正在被服务时系统的状态3离开状态顾客服务完毕离开时系统的状态在多服务排队系统中,系统状态主要由新顾客到达、正在服务的顾客以及离开服务的顾客三种状态变化来决定。这种状态转移过程决定了系统的动态行为,是分析系统性能指标的基础。

系统状态概率通过分析系统的状态转移过程,可以得到各个状态的概率分布。这些状态概率反映了系统的工作状况,是分析系统性能的重要依据。n服务台数系统中可同时服务的最大客户数。K缓冲容量系统可容纳的最大客户数,包括正在服务和等待的客户。P(n)状态概率系统处于各个状态的概率分布。P(0)空闲概率系统处于全空闲状态的概率。

平均队长在多服务排队系统中，平均队长是非常重要的性能指标。它反映了系统中平均积累的顾客数量，是衡量系统流畅程度的重要依据。指标公式说明平均队长L=ρ/(1-ρ)ρ为系统利用率，该公式描述了平均队长随系统利用率的变化关系。通过分析平均队长的变化趋势，可以判断系统的负荷情况，从而为优化系统设计提供数据支持。

系统利用率系统利用率是反映系统工作强度的一个重要指标。它表示了系统在单位时间内实际处理的业务量占系统总处理能力的比例。一般来说，系统利用率越高,系统的资源利用效率越高,但同时也意味着系统的承载压力越大。

失去顾客的概率10%失去顾客概率在高负载条件下,系统可能会失去10%的顾客。这对企业的客户服务和收入都有严重影响。3%缓冲容量影响适当增加缓冲容量,可将失去顾客的概率降低至3%以内。2.5K每年损失总量对于一个大型服务系统,每年由于失去顾客可能造成25,000人次的损失。￥1M经济损失根据统计,这种顾客流失可能导致超过100万元的经济损失。

平均等待时间系统特性性能指标公式多服务排队系统平均等待时间$W_q=\frac{\rho^n}{n!(1-\rho)^2}\frac{1}{n\mu(1-\rho)^2}$这个公式描述了在M/M/n/K排队系统中，顾客的平均排队等待时间。其中$\rho$是系统利用率，$n$是服务台数，$\mu$是服务率。这个指标反映了系统的响应速度，是衡量服务质量和客户体验的重要标准。

平均系统时间平均系统时间是指从顾客进入系统到最终服务完毕所需的平均时间。这包括了顾客在队列中等待的时间和实际接受服务的时间。平均系统时间是衡量服务质量的重要指标之一,越短表明系统处理效率越高。根据图表数据可以看出,平均系统时间随着服务台数的增加而下降,但受到到达率和服务率的影响。可以通过优化这些参数来最小化平均系统时间。

带宽损失从上图可以看出,排队等待是造成带宽损失的主要原因,其次是网络拥塞和缓存溢出。系统优化应该重点关注这些方面。

多服务系统性能分析系统状态分析通过深入分析多服务系统的各种状态转移概率和状态概率分布,可以全面评估系统的性能指标,如平均队长、系统利用率、失去顾客的概率等。灵敏度分析研究各个系统参数,如服务台数、到达率、服务率、缓冲容量等,对系统性能指标的影响程度,可以帮助优化系统设计。综合评估将系统状态分析和灵敏度分析的结果综合起来,可以全面判断多服务系统的性能特征,为实际应用提供依据。

退化简单模型在多服务排队系统中,如果将服务台数n减少到1,那么该系统就变为简单的M/M/1/K排队模型。此时系统性能指标的计算公式会更加简单明了,能够更好地反映系统的动态特性。分析退化后的简单模型有助于理解多服务系统的基本原理,为进一步研究多服务系统奠定基础。同时也可用于快速评估多服务系统在某些极端情况下的性能表现。

服务台数变化对性能指标的影响1服务台数增加提高系统处理能力2平均队长下降减少客户等待时间3系统利用率降低提高系统响应效率4丢失客户率降低提高客户满意度增加服务台数可以有效提高系统的处理能力和响应效率。这样可以减少客户的平均等待时间，降低丢失客户的概率，从而提高系统的