2021届中考数学压轴题及答案解析.pdf
2021年中考数学压轴题
1．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕
点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE＝1，AE=7，CE＝3，求∠AED的度数；
√
（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一
√5
边DF与边DM重合时（如图2），若OF=，求CN的长．
3
解：（1）CE＝AF；
证明：在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，FD＝DE，CD＝CA，∠ADC＝∠EDF
＝90°
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE，
∴CE＝AF，
（2）∵DE＝1，AE=7，CE＝3，
√
∴EF=2，
√
∴AE2+EF2＝AF2
∴△AEF为直角三角形，
∴∠AEF＝90°
∴∠AED＝∠AEF+DEF＝90°+45°＝135°；
（3）∵M是AB中点，
11
∴MA=AB=AD，
22
∵AB∥CD，
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1
∴===，
2
22
+=16+4=25，
在Rt△DAM中，DM=√√√
45
√
∴DO=，
3
√5
∵OF=，
3
∴DF=5，
√
∵∠DFN＝∠DCO＝45°，∠FDN＝∠CDO，
∴△DFN∽△DCO，
∴=，
√5
∴=，
445
√
3
5
∴DN=，
3
57
∴CN＝CD﹣DN＝4−=
33
2．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b且填空：当点A位于
CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a+b（用含a、b的式子
表示）．
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝2，如图2所示，分别以AB，AC
为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，
0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段
AM长的最大值及此时点P的坐标．
解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，
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∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，
故答案为：CB的延长线上，a+b；
（2）①CD＝BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
{=
∠=∠，
=
∴△CAD