南京审计学院《微积分(二)》同步练习册打印版(76页).doc

说明：为方便复习，上学期第五章“不定积分”的练习及答案，参见本练习册第36页． 第六章 定积分 §6.1 定积分的概念与性质 1. 利用定积分的几何意义，计算下列定积分： (1）； (2）； (3）. 2. 不计算积分，比较下列各积分值的大小（指出明确的“”关系，并给出必要的理由）. (1） 与 ； (2） 与 ； (3） 与 ． 3. 利用定积分的性质，估计的大小. 4. 设在区间上连续，在内可导，且满足，试证：在内至少存在一点，使得. 5. 试判断下列定积分是否有意义（即，被积函数在相应的积分区间上是否“可积”），并说明理由. (1）； (2），其中． 6*.根据定积分的定义，将极限表达为定积分的形式（不需要计算出具体的数值结果）： §6.2 微积分基本定理 1．求下列函数关于的导数： (1）； (2）； (3）； (4*）． 2．求下列极限： (1）； (2）； (3）． 3．求函数的极值点． 4．计算下列定积分： (1）； (2）； (3）； (4）； (5），其中； 5．设在上连续，且满足，试求． 6*．求解（提示：利用定积分的定义）． §6.3 定积分的换元积分法与分部积分法 1. 试利用定积分的换元法计算下列积分： (1）； (2）； (3）； (4）； 2. 利用函数的奇偶性计算. 3. 设是上的连续函数，试证：对于任意常数，均有. 4*. 设是上的连续函数，并满足，试求. 5. 利用定积分的分部积分法计算下列积分： (1）； (2） (3）. 6*. 试计算，其中. 7*. 已知是上的连续函数，试证： . §6.4 定积分的应用 1. 计算下列曲线围成的平面封闭图形的面积： (1）； (2）. 2. 假设曲线、轴和轴所围成的区域被曲线分为面积相等的两部分，试确定常数的值. 3. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转一周而成的立体体积： (1）；绕轴； （2）： （i）绕轴； （ii）绕轴． 4. 已知某产品的固定成本为，边际成本和边际收益函数分别为 ，，其中为产品的销售量（产量），试求最大利润. 5. 已知某产品在定价时的市场需求量，在任意价格处的需求价格弹性为，其中均为常数，为产品在价格处的市场需求量。试求该产品的市场需求函数．（提示：弹性） §6.5 反常积分初步 1. 判定下列无穷限积分的敛散性；若收敛, 则求其值. (1) （为常数）； (2)（其中，均为常数）； (2*) . 3. 判定下列积分的敛散性；若收敛, 则求其值. (1) ； (2) . 4. 利用函数和函数的性质，以及的结果，分别计算： ，和. 5. 计算下列反常积分（提示：利用函数的定义，以及的结果） (1) ； (2) . 第七章 多元函数微积分学 §7.1 预备知识 §7.2 多元函数的概念 1. 已知点，在轴上找出与点相距的点． 2. 求过点，，的平面方程． 3. 分别写出下列区域的“x-型”与“y-型”表达形式： (1) 由、、所围成的区域； (2) 由、所围成的区域； (3) 由、所围成的区域． 4. 求下列函数的定义域并画出定义域的示意图： （1）； （2）． 5. 设，求． 6. 试求下列二元函数的极限： （1）； （2*）． 7*. 设，讨论在点处的连续性． §7.3 偏导数与全微分 1. 求下列函数在给定点处的偏导数： （1），求； （2），求． 2. 求下列函数的指定偏导数： （1），求； （2），求； （3），求． 3. 设，分别讨论在处是否连续、是否存在偏导数． 4. 求下列函数的全微分： （1）； （2）． 5. 求函数在点(2,1)处的全微分． 6. 利用全微分计算的近似值． 7. 已知一矩形的长为6米、宽为8米。当长增加5厘米，宽减少10厘米时，求矩形对角线长度变化的近似值。 §7.4 多元复合函数与隐函数微分法 1. 求下列复合函数的偏导数或导数： （1），求； （2），求； （3），求； 2. 设，求． 3. 设可导，，证明：． 4. 设函数由方程所确定，试求． 5. 求下列二元（三元）方程所确定的隐函数（）的全微分： （1）； （2）． 6*. 设函数与均可微，且由方程所确定，其中，试证：一元函数的驻点必然满足方程． §7.5 高阶偏导数 1. 设, 求． 2. 设, 求． 3. 设的两个偏导函数连续, , 求． 4. 设，求． §7.6 多元函数的极值 1. 求的极值． 2. 求在上的最大值与最小值． 3. 求在条件，下的最值． 4.