南京审计学院《微积分(二)》同步练习册打印版(76页).doc
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说明:为方便复习,上学期第五章“不定积分”的练习及答案,参见本练习册第36页.
第六章 定积分
§6.1 定积分的概念与性质
1. 利用定积分的几何意义,计算下列定积分:
(1);
(2);
(3).
2. 不计算积分,比较下列各积分值的大小(指出明确的“”关系,并给出必要的理由).
(1) 与 ; (2) 与 ;
(3) 与 .
3. 利用定积分的性质,估计的大小.
4. 设在区间上连续,在内可导,且满足,试证:在内至少存在一点,使得.
5. 试判断下列定积分是否有意义(即,被积函数在相应的积分区间上是否“可积”),并说明理由.
(1);
(2),其中.
6*.根据定积分的定义,将极限表达为定积分的形式(不需要计算出具体的数值结果):
§6.2 微积分基本定理
1.求下列函数关于的导数:
(1); (2);
(3);
(4*).
2.求下列极限:
(1); (2);
(3).
3.求函数的极值点.
4.计算下列定积分:
(1); (2);
(3);
(4);
(5),其中;
5.设在上连续,且满足,试求.
6*.求解(提示:利用定积分的定义).
§6.3 定积分的换元积分法与分部积分法
1. 试利用定积分的换元法计算下列积分:
(1); (2);
(3); (4);
2. 利用函数的奇偶性计算.
3. 设是上的连续函数,试证:对于任意常数,均有.
4*. 设是上的连续函数,并满足,试求.
5. 利用定积分的分部积分法计算下列积分:
(1);
(2)
(3).
6*. 试计算,其中.
7*. 已知是上的连续函数,试证:
.
§6.4 定积分的应用
1. 计算下列曲线围成的平面封闭图形的面积:
(1);
(2).
2. 假设曲线、轴和轴所围成的区域被曲线分为面积相等的两部分,试确定常数的值.
3. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转一周而成的立体体积:
(1);绕轴;
(2):
(i)绕轴;
(ii)绕轴.
4. 已知某产品的固定成本为,边际成本和边际收益函数分别为
,,其中为产品的销售量(产量),试求最大利润.
5. 已知某产品在定价时的市场需求量,在任意价格处的需求价格弹性为,其中均为常数,为产品在价格处的市场需求量。试求该产品的市场需求函数.(提示:弹性)
§6.5 反常积分初步
1. 判定下列无穷限积分的敛散性;若收敛, 则求其值.
(1) (为常数);
(2)(其中,均为常数);
(2*) .
3. 判定下列积分的敛散性;若收敛, 则求其值.
(1) ;
(2) .
4. 利用函数和函数的性质,以及的结果,分别计算:
,和.
5. 计算下列反常积分(提示:利用函数的定义,以及的结果)
(1) ; (2) .
第七章 多元函数微积分学
§7.1 预备知识 §7.2 多元函数的概念
1. 已知点,在轴上找出与点相距的点.
2. 求过点,,的平面方程.
3. 分别写出下列区域的“x-型”与“y-型”表达形式:
(1) 由、、所围成的区域;
(2) 由、所围成的区域;
(3) 由、所围成的区域.
4. 求下列函数的定义域并画出定义域的示意图:
(1);
(2).
5. 设,求.
6. 试求下列二元函数的极限:
(1);
(2*).
7*. 设,讨论在点处的连续性.
§7.3 偏导数与全微分
1. 求下列函数在给定点处的偏导数:
(1),求;
(2),求.
2. 求下列函数的指定偏导数:
(1),求;
(2),求; (3),求.
3. 设,分别讨论在处是否连续、是否存在偏导数.
4. 求下列函数的全微分:
(1);
(2).
5. 求函数在点(2,1)处的全微分.
6. 利用全微分计算的近似值.
7. 已知一矩形的长为6米、宽为8米。当长增加5厘米,宽减少10厘米时,求矩形对角线长度变化的近似值。
§7.4 多元复合函数与隐函数微分法
1. 求下列复合函数的偏导数或导数:
(1),求;
(2),求;
(3),求;
2. 设,求.
3. 设可导,,证明:.
4. 设函数由方程所确定,试求.
5. 求下列二元(三元)方程所确定的隐函数()的全微分:
(1);
(2).
6*. 设函数与均可微,且由方程所确定,其中,试证:一元函数的驻点必然满足方程.
§7.5 高阶偏导数
1. 设, 求.
2. 设, 求.
3. 设的两个偏导函数连续, , 求.
4. 设,求.
§7.6 多元函数的极值
1. 求的极值.
2. 求在上的最大值与最小值.
3. 求在条件,下的最值.
4.
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