二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质.docx

Page 5 26.2.5二次函数的图像和性质 教学目标： 1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．（重点） 2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．（重点） 3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．（难点） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 火箭竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？ 二、合作探究 探究点：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 【类型一】 利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质比较函数值的大小 若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是(　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝2.∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3，∴y2＞y3＞y1.故选C. 方法总结：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小． 【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值 已知二次函数y=-2x2-4x+1，当-5≤x≤0时，它的最大值为_____，最小值为_____． 解析：∵抛物线的对称轴为直线x==-1.∵a=-2＜0，∴x＜-1时，y随x的增大而增大，x＞-1时，y随x的增大而减小，∴在-5≤x≤0内，x=-1时，y有最大值，x=-5时，y有最小值，分别是y=3和y=-29. 方法总结：二次函数求最值最常用的方法是配方法和公式法，需要注意的是，当自变量限制范围时，如果对称轴不在取值范围内，则可以根据二次函数图象的增减性在取值范围内求最值． 【类型三】利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质求字母的取值范围 已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2 解析：抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(2,2×（－1）)＝1，∵函数图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a＞－1，∴－1＜a≤1，故选B. 方法总结：抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，抛物线左降右升；当a＜0，开口向下时，抛物线左升右降． 【类型四】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与a,b,c符号之间的关系 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（-2，0）、B（1，0）两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=-1；③2a+c=0；④a-b+c＞0．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：对于①：二次函数开口向下，故a＜0，与y轴的交点在y的正半轴，故c＞0，故ac＜0，因此①错误；对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（-2，0）、B（1，0）两点，由对称性可知，其对称轴为直线，因此②错误；对于③：设二次函数y=ax2+bx+c的交点式为y=a（x+2）（x-1）=ax2+ax-2a，比较一般式与交点式的系数可知：b=a，c=-2a，故2a+c=0，因此③正确；对于④：当x=-1时，对应的函数值y=a-b+c，观察图象可知x=-1时，对应的函数图象的y值在x轴上方，故a-b+c＞0，因此④正确．∴只有③④是正确的．故选：C． 方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－eq \f(b,2a)＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，－eq \f(b,2a)＜0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号． 【类型五】二次函数与其他函数的综合 已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是(　　) 解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝－eq \f(b,2a)＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，