高中数学双曲线抛物线知识点总结报告.doc

双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a)的点的轨迹。 方程 简图 范围 顶点 焦点 渐近线 离心率 对称轴 关于x轴、y轴及原点对称 关于x轴、y轴及原点对称 准线方程 a、b、c的关系 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程的双曲线方程可设为，与双曲线共渐近线的方程可设为。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 虚轴长为12，离心率为； 焦距为26，且经过点M（0，12）； 与双曲线有公共渐进线，且经过点。 解：（1）设双曲线的标准方程为或。 由题意知，2b=12，=。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为或。 （2）∵双曲线经过点M（0，12）， ∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴。 ∴标准方程为。 （3）设双曲线的方程为 在双曲线上 ∴ 得 所以双曲线方程为 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e、a、b、c四者的关系，构造出和的关系式。 【例2】双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥。求双曲线的离心率e的取值范围。 解：直线l的方程为，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离， 同理得到点（-1，0）到直线l的距离， 。 由s≥，得≥，即。 于是得，即。 解不等式，得。由于e＞1＞0，所以e的取值范围是。 【例3】设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。 解：∵ ∴ 又︱AF1︱=3︱AF2︱， ∴即， ∴， ∴即。 题型三 直线与双曲线的位置关系 方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组，即，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。 2、直线与双曲线相交所截得的弦长： 【例4】如图，已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果，且曲线E上存在点C，使，求 （1）曲线E的方程； （2）直线AB的方程； （3）m的值和△ABC的面积S。 解：由双曲线的定义可知， 曲线E是以为焦点的双曲线的左支， 且，a=1，易知。 故直线E的方程为， (2)设, , 由题意建立方程组消去y，得。 又已知直线与双曲线左支交于两点A、B，有 解得。 又∵ 依题意得，整理后得， ∴或。 但， ∴。 故直线AB的方程为。 （3）设，由已知，得， ∴。 又，， ∴点。 将点C的坐标代入曲线E的方程，的， 得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。 ∴，C点的坐标为， C到AB的距离为， ∴△ABC的面积。 抛物线 高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。 知识归纳 方程 图形 顶点 （0，0） 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线 （二）典例讲解 题型一 抛物线的定义及其标准方程 方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为或。 【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。 （1）抛物线的焦点是双曲线的左顶点； （2）经过点A（2，－3）； （3）焦点在直线x-2y-4=0上； （4）抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，︱AF︱=5. 解：（1）双曲线方程可化为，左顶点是（-3，0） 由题意设抛物线方程为且， ∴p=6. ∴方程为 （2）解法一：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式： y2＝2px或x2＝－2py． 点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝ 点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝ ∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y 解法二：由于A（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为或，代入A点坐标求得m=，n=-， ∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y （3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4， ∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。 ∴焦点为（0