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计量经济学讲义 第四讲 趋势和DF检验（修订版） 此翻译稿制作学习之用，如有错误之处，文责自负。 趋势平稳序列（TS）（图1和2） 一个趋势平稳序列绕着一个确定的趋势（序列的均值），其波动幅度不显示增大或者减小的趋势。 线性确定性趋势： t=1,2,… 平方确定性趋势： t=1,2,… 通常： t=1,2,… 均值是是随时间变化的（川），但是方差是常数。可以为任意平稳序列，也就是说，不一定要是白噪声过程。 通过拟合一个确定的多项式时间趋势，趋势可以来消除：拟合趋势后残差将给出一个去趋势的序列。 一个带线性确定性趋势AR（1）过程可以写作： t=1,2,… 此处确定性趋势被减去。然而在实践中，、是未知的而且必须估计出来。于是模型可以被重述为： 其中包含一个截距和一个趋势，也就是 此处 且 若，那么此AR过程就是围绕一个确定性趋势的平稳过程. 差分平稳序列（DF）（也叫单整序列）和随机性趋势 如果一个非平稳序列可以由一个平稳序列通过d次差分得到，那么我们说这个序列就是d阶单整的，写做I（d）.这一过程也因此叫做差分平稳过程（DSP）. 因此，平稳序列就是零阶单整的，I（0）。白噪声序列是I（0）。 所以如果序列是平稳的，那么就是I（d）。是差分算子，即 如果序列 是平稳的话，是I（1）； 如果序列 是平稳的，是I（2）， 随机游走（图3） 是随机游走的，如果满足 此处 这是一个AR（1）过程，且在中具有根这一序列被称为具有单位根，或者叫做1阶单整，I（1）。 注意： 假设此过程在t=0起始处有一个确定的值y0.那么， …… (1) 注释： (a) 在（1）式中，yt被表示为初始值y0和一个序列的局部的和（即所谓的随机趋势）。所有随机冲击对序列yt都有永久的影响，它们可以永久的改变yt的水平，而在平稳序列中，冲击的影响会随着时间的流逝而趋向于零。因此，称随机游走具有一个随机趋势。 (b) E（yt）=y0+t*0= y0 [定值] Var(yt)= Var()=t?2 都时间依赖的，即，Var(yt)存在趋势。所以yt是非平稳的。但是?yt=是平稳的。这也 叫做不带漂移的随机游走。 （c） ?yt=+称作带漂移的随机游走。 现在，?yt= y0+t+ 可以推出 E（yt）= y0+t 均值具有趋势 Var(yt)= t?2 方差具有趋势 就是说，不带漂移的随机游走只有方差具有趋势，而带漂移的随机游走均值和方差中都具有趋势，即不仅有确定性趋势y0+t，也有随机性趋势 （d） 因此随机游走是一个I（1）序列。由于差分平稳序列通常可以用ARMA(p,q)表示，所以随机游走是一种特殊的I（1）序列。但是对于随机游走来说，其中 [当由时，我们使用单整这个词，总和单整] （e）在中，冲击的影响会持续到永远，而在平稳序列中，例如，中，冲击的影响会随着时间的流逝趋向于0。 （f） 一个I（0）序列将围绕着均值波动，而且观测值会频繁的与这个值相交。I（1）序列会不断扩散而很少回到其早先的值。 （g）对于I（0）序列其相关系数（迅速地）。对I（1）序列，其相关系数对于任何滞后期k都在1附近。 （i）当我们分析分平稳序列的时候，标准分布理论（中心极限定理）会失效。特别地，弱大数定律（WLLN）也不成立。弱大数定律说的是：在一定条件下，当样本容量趋向于无穷的时候，样本距会收敛于总体距。 I（0）和I（1）序列的区别—小结 I（0） I（1） 冲击的影响随时间的消逝趋向于0 冲击的影响永远持续 观测值绕着均值波动且经常与均值相交 观测值偏离均值很大且很少回到先前的值 自相关系数很快趋向0， 相关系数对于任何滞后期k都在1附近 中心极限定理适用 中心极限定理不适用 通过读图辨别非平稳性 纯粹的随机游走和带漂移的随机游走的图示如下 图例 另见讲义P30 纯粹的随机游走过程在整个时间段内，不显示任何上升或者下降的趋势，也不显示趋向于一个给定的均值的趋势（比如汇率）；而带漂移的随机游走的时间路径有确定性的趋势主导（例如货币供给，GNP等）。这些序列可以从一个长期的确定性的趋势中得到。 在小样本的情形下，很难区分出纯粹的随机游走和带漂移的随机游走。漂移的绝对值较小，或者冲击的方差较大，都将掩盖带漂移的随机游走的长期中所具有的趋势。 同时要区分（具有确定性趋势的）平稳AR过程和（带漂移的）随机游走也不是很容易的。 趋势平稳序列（TF）和差分平稳序列（