第一章材料固体力学.doc

第一章 习题1 证明恒等式 [证明] 习题2 证明若，则 [证明] ， 又因为所有的指标都是哑指标，，所以，即 习题3 已知某一点的应力分量，，，不为零，而，试求过该点和z轴，与x轴夹角为的面上的正应力和剪应力。 [解] 如图1.1，过该点和z轴，与x轴夹角为的面的法线，其与x轴，y轴和z轴的方向余弦分别为cosα，sinα，0，则由斜面应力公式的分量表达式，，可求得该面上的应力为 由斜面正应力表达式，可求得正应力为 剪应力为 习题4 如已知物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷。试写出其边界条件。 [解] 物体表面外表面法线的方向余弦为 带入应力边界条件，，得 习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为，，，，，，试求该点以柱坐标表示的应力分量。 [解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示： x y z r cosθ sinθ 0 θ -sinθ cosθ 0 z 0 0 1 由应力分量转换公式，求得 利用三角公式可将上面的式子改写为 习题6 一点的应力状态由应力张量给定，式中，，，为常数，是某应力值，求常数，，，以使八面体面上的应力张量为零 [解] 由斜面应力公式的分量表达式，，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组： 解得 习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力，，必为实根 [证明] （1）设任意两个不同的主应力为、，对应的主方向为、。根据主应力定义有： ， 将以上两式分别点乘和再相减，得 是对称应力张量，上式可改写为 所以应力的三个主方向互相垂直 （2）设任意两个不同的主应力为、，对应的主方向为、 若为复数，则为其共轭复数，从而方向余弦、互为共轭 与主方向相互垂直矛盾 所以三个主应力必为实数 习题8 证明球形应力张量在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为 [证明] 球形应力张量，设任意斜面的方向余弦为 由斜面应力公式 ，得 由斜面正应力公式 ，得 由斜面剪应力公式，得 习题9 求应力偏量张量的不变量 [解] 应力张量可分解为球形应力张量和应力偏量张量， 应力偏量张量，其主应力方程为，即 上述方程存在非零解的必要条件是系数行列式为零，即 得到关于的三次代数方程， 其中，和分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量 设，和为应力偏量张量的三个主值，则 习题10 设为二阶对称张量，证明由导出的应力一定满足无体力的平衡方程 [证明] ?? 又关于，反对称，关于，对称 ，即满足无体力的平衡方程， 习题11 已知直角坐标系中各点的应力张量，试求体积力分量 [解] 根据平衡微分方程，得 得体积力分量为 习题12 如图1.3所示的三角形截面水坝，材料的比重为，承受着比重为液体的压力，已求得应力解为，试根据直边及斜边上的表面条件确定系数,,和 [解] 如图所示，建立平面直角坐标系 水坝左侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用 根据应力边界条件，，在处 水坝右侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用 根据应力边界条件，，在处 由上述两个方程组，得 习题13 如图1.4所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为的液体，右侧为自由表面，试写出以应力分量表示的边界条件。 [解] 如图所示，建立平面直角坐标系 水坝左侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用 根据应力边界条件，，在处 水坝右侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用 根据应力边界条件，，在处