2014年电大离散数学图论部分期末复习辅导小抄.doc

离散数学 一、单项选择题 1．设图G＝V, E，v(V，则下列结论成立的是 ( ) ． A．deg(v)=2(E( B．deg(v)=(E( C． D． 解 根据握手定理（图中所有结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C成立。 答 C 2．设无向图G的邻接矩阵为 ， 则G的边数为( )． A．B．C．D．vi与vj相邻时，结点vj与vi也相邻，所以连接结点vi与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有10(2=5条边。 答 B 3．已知无向图G的邻接矩阵为 ， 则G有（ ）． A．5点，8边 B．6点，7边 C．6点，8边 D．5点，7边 解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5阶方阵，所以图G有5个结点，矩阵元素有14个1，14÷2=7，图G有7条边。 答 D 4．如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, e)}是割边 B．{(a, e)}是边割集 C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集 D．{(d, e)}是边割集 定义3.2.9 设无向图G=V,E为连通图，若有边集E1(E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称E1是G的一个边割集．若边割集为单元集{e}，则称边e为割边（或桥）． 解 割边首先是一条边，因为答案A中的是边集，不可能是割边，因此答案A是错误的．删除答案B或C中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案B、C也是错误的．在图一中，删去(d, e)边，图就不连通了，所以答案D正确． 答 D 注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做．如： 若图G=V, E，其中V={ a, b, c, d, e }，E={ (a, b), (a, c) , (a, e) , (b, c) , (b, e) , (c, e) , (e, d)}，则该图中的割边是什么？ 5．图G如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A．a是割点 B．{b, c}是点割集 C．{b, d}是点割集 D．{c}是点割集 定义3.2.7 设无向图G=V,E为连通图，若有点集V1(V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集．若点割集为单元集{v}，则称结点v为割点． A．（a）是强连通的 B．（b）是强连通的 C．（c）是强连通的 D．（d）是强连通的 定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的； 若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的； 若图G的底图，即在图G中略去边的方向，得到的无向图是连通的，则称图G是弱连通的． 显然，强连通的一定是单向连通和弱连通的，单向连通的一定是弱连通，但其逆均不真． 定理3.2.1 一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次． 单侧连通图判别法：若有向图G中存在一条经过每个结点至少一次的路，则G是单侧连通的。 连通的连通的连通有n个结点(n(2)，m条边，当（ ）时，K中存在欧拉回路． A．m为奇数 B．n为偶数 C．n为奇数 D．m为偶数 解 完全图K每个结点都是n(1度的，由定理4.1.1的推论知K中存在欧拉回路的条件是n(1是偶数，从而n为奇数。 答 C 提示：前面提到n阶无向完全图Kn的无向完全图Kn的边数( )． A．B．C．D． 给定图G，若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路； 具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图 由定义可知，汉密尔顿图是连通图． 答 D 10．若G是一个欧拉图，则G一定是( )． A．B．C．D．G，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路．（即，欧拉路中没有重复的边，并且包含了图中的每条边．） 若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，则该回路称为欧拉回路． 具有欧拉回路的图就称为欧拉图． 由定义可知，欧拉图是连通图． 答 C 11．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )． A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2 答 A（定理4.3.2(e(r ( 2） 问：如果连通平面图G有4个结点，7条边，那么图G