1.1-集合基本概念-2018年.ppt

例 设A，B，C是三个集合，已知A?B=A?C，A?B=A?C，求证B=C。 方法2：使用反证法。假设B≠C，则必存在x，满足x ? B，且x ? C，或者x ? B，且x ? C。不妨设x ? B，且x ? C， ① 若x ? A，则x ? A?B，但x ? A?C，与A?B=A?C矛盾。 ② 若x ? A，则x ? A?B，但x ? A?C，与A?B=A?C矛盾。 所以原假设不对，B=C。 例 设A，B，C是三个集合，已知A?B=A?C，A?B=A?C，求证B=C。 方法3 ：利用已知以及集合运算的交换律、分配律与吸收律，有 B = B?(A?B) = B?(A?C)= (B?A)?(B?C) = (C?A) ?(B?C)= C?(A?B)= C?(A?C)=C 习题1.1—4. 设A,B,C为任意三个集合，下列各式对否？并证明你的结论。 （1）若A?B且B?C，则A?C； （2）若A?B且B?C，则A?C； （3）若A?B且B?C，则A?C； （4）若A?B且B?C，则A?C。 习题1.1-4习题 （1）若A?B且B?C，则A?C； （2）若A?B且B?C，则A?C； （1）该说法正确，证明如下： 因A?B，即A为B中元素，而B ? C，故A也为C中元素，即A?C。 （2）该说法错误，反例如下： A={a}，B={{a}}，C={{a},b} 此例中A?B且B?C成立，但A?C不成立。 习题1.1-4习题 （3）若A?B且B?C，则A?C； （4）若A?B且B?C，则A?C。 （3）该说法错误，反例如下： A={a}，B={a,b}，C={{a,b}, c} 此例中A?B且B?C成立，但A?C不成立。 （4）该说法错误，反例同（3）： 该例中A?B且B?C成立，但A?C不成立。 作业： 习题1.1—1、2、3(2) §1.2 关 系(relations) 1.2.1 关系的基本概念及其性质 1.2.2 等价关系 1.2.3 部分序关系 1.2.1 关系的基本概念及其性质 一、关系的定义 二、关系的表示 三、关系作为集合的运算 四、几种特殊关系及特点 五、闭包运算 一、关系的定义 定义 设A1,A2,?,An是n个集合， 集合A1?A2 ???An的一个子集 F 称为A1,A2,?,An上的一个n元关系。 特别地,集合A?B中的一个子集R，称为集合A与B上的一个二元关系(binary relation),简称为关系。 对于x?A，y?B，R是A与B上的一个二元关系，若(x,y)?R，则称x，y有关系R，记为xRy；若(x,y)?R，则称x，y没有关系R，记为xRy。 若B=A，则R称为A上的二元关系。 关系的特点 1. A?A的任一子集都是A上的一个关系； 2. 若?A?=n，则A上的关系有 个。 3. A上有三个特殊关系，即 空关系?； 全域关系EA=A?A；相等关系IA={(x,x)?x?A}。 4. 5. 有序对(a,b)=(c,d)的充要条件是a=c，b=d。 例 设A={1,2,3,4}， A?A= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)} 则R1={(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3)} R2={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} R3={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)} R4={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} 例 人群中的父子关系R={(x,y)|x,y是人且x是y的父亲} 例 设A={a, b, c, d, e, f}为学生集合， B={?, ?, ?, ?}为选修课程集合， C={2, 3, 4, 5}为学习成绩集合， 学生与课程之间存在着一种关系即“选修关系”； 学生、课程和成绩之间也存在着一种叫做“学习成绩关系”。 设 用 R 表示选修关系， S 表示学习成绩关系， 那么R为A与B上的二元关系， S为A，B和C上的三元关系