大学物理教程一维无限深势阱中的粒子.ppt

12.4 一维无限深势阱中的粒子 第12章 量子力学基础 确定粒子的哈密顿量； 在全空间写出粒子的能量本征方程； 利用波函数的自然条件确定确定能量本征值和波函数。 步骤： 处理的问题： 势阱中的粒子——粒子被束缚在某势场中； 势垒对粒子的散射——自由粒子入射到某势场中。 一 一维无限深势阱中的粒子 金属中的电子由于金属表面势能（势垒）的束缚被限制在一个有限的空间范围内运动。 称为一维无限深方势阱。 -e -e -e -e -e -e -e 如果金属表面势垒很高，可以将金属表面看为一刚性盒子。如果只考虑一维运动，就是一维刚性盒子。势能函数为： V = 0 ∞ ∞ V(x) x 无限深方势阱 在势阱内，定态薛定谔方程 得 解为： 待定常数C 和δ解由波函数的自然条件确定。 V = 0 ∞ ∞ V(x) x 无限深方势阱 令 波函数在阱壁上的连续条件、本征能量 该方程的解只能是： 在势阱外，定态薛定谔方程 V = 0 ∞ ∞ V(x) x 无限深方势阱 由式（3）可得 由式（4）可得 思考：为什么n不取零和负整数？ 1) 粒子的能量： 其中 能量取分立值（能级），能量是量子化的。 能量间隔为： 能级增大，能级间隔递增 阱变宽，能级间隔下降 n =1 3 2 1 9 E 1 4 E 1 E 大质量粒子的能级间隔小 L 很大或 m 很大，能级几乎连续 最低能量(零点能) — 波动性 ∞ ∞ V(x) x 2) 势阱中粒子的动量和波长 阱宽为半波长的整数倍 定态波函数为 归一化常数C 和定态波函数 3) 定态波函数和粒子在阱内的几率分布 粒子在阱内的波函数为 ∞ ∞ V(x) x 每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波（两个单色波的叠加）。 波函数为频率相同、波长相同、传播方向相反的两单色平面波的叠加——形成驻波。 粒子在势阱中的几率分布： 例 已知质量为 m 的一维粒子的波函数为： （1）求基态和第4激发态的能量； （2）求粒子的几率密度分布函数； （3）求粒子在基态和第2激发态时的最可几位置。 解 由波函数可知，粒子处在宽度为L的势阱中，将波函数代入薛定谔方程 中，可得粒子的能级 （1）当n=1时，对应基态的能量为 当n=5时为第4激发态，对应的能量为 （2）波函数的模平方即粒子的几率密度为 （3）最可几位置对应几率密度的极值位置，几率密度的一阶导数应为零。因为基态几率密度为 令 得 由此可解出最可几位置为 在这三个位置中，可以验证只有x=L/2时几率密度最大。 第二激发态的几率密度为 由 可解出最可几位置为 同样可以验证只有 三个位置粒子的几率密度最大。 二 隧道效应（势垒贯穿） 自由粒子遇到的势是有限高和有限宽的势垒： EU0 x U=U0 U= 0 0 a 透射波 利用薛定谔方程可以求得波函数： x U=U0 U=0 0 a 入射波+反射波 指数衰减波 其中 待定常数 B、C、D、F由下列边界条件确定： 反射系数 透射系数 表明：粒子入射到势垒上时，有被反射的几率，亦有穿过势垒透射几率——隧道效应（势垒贯穿） x U=U0 0 a x U=U0 U=0 O a 可以证明： Φ(x) 可见：m、a、( U0 – E ) 越小，则穿透率 T 越大。 当 k?a 1 时 [m(U0-E)很小] [*例]：向墙壁上扔一经典球，球被墙壁反弹回来（当m很大时，T 可能很小）； [*例]: 电子 a=2×10-10 m, (U0-E) = 1 eV 但按量子力学小球有可能进入墙壁中 ≈51% 隧道效应只在一定的条件下才明显，例V0-E=1MeV时，?粒子穿过势垒的的穿透率与势垒宽度的关系为 a-10-14米，T=10-2 a-10-14米，T=10-19