第2章 有限元的基本原理.ppt

用矩阵表示为： 形函数的性质： 位移函数应该满足以下几个条件 （1）包括常数项（保证刚体位移） （2）包括一次项（保证常应变） （3）保证位移的连续性（性质3保证） （4）各项几何同性（x, y应该是可以互换的） 满足上述三个条件的目的是满足有限元的收敛性 （1）和（2）是收敛的必要条件 完备性条件 （3）是收敛的充分条件 协调条件 注意：非协调单元的解 不一定不收敛（可能收敛） 位移函数应该满足以下几个条件 （1）包括常数项（保证刚体位移） （2）包括一次项（保证常应变） （3）保证位移的连续性（性质3保证） （4）各项几何同性（x, y应该是可以互换的） 将位移表达式（2-3）和（2-4）代入几何方程得： 2)单元应力和应变 则，应变向量可以表示为： [D]、[B]均为常数矩阵。 因此，三角形三节点单元为常应力单元。 3）单元刚度矩阵 则节点力在虚位移上做的虚功为： 而节点发生的虚位移为： 设作用在单元节点上的单元节点力列阵为： 单元刚度矩阵的物理意义： 在一个节点处产生单位位移而其他点为零时，在该节点上需要的外力大小。 将（2-5）展开得： 单元某个元素的影响 （1）对称性： （弹性力学互等定理） （2）奇异性： （刚体位移） 单元刚度矩阵的特性 通过单元特性方程 [k]e{q}e={F}e, 并不能求出单元节点位移 {q}e 。因为{F}e包含单元间的作用力。 1）总刚集成原理 在整个结构中，一个节点为几个单元共有。在第i个节点处的平衡方程为： 因此，必须将每个单元的特性方程相加消除内力的影响。这就是总刚度矩阵集成的目的。 3、总刚度矩阵的集成 例：总刚的形成过程 2）总刚度矩阵集成过程 （2）叠加过程： （1）扩阶过程（可由转换矩阵完成） （1）对称性 节省存储容量 （2）稀疏性 可能存在大量零元素 （3）带状性 半带宽与节点的编号有关 （4）奇异性 保证刚体位移 总刚矩阵的特点： 4、载荷移置 1）集中力的移置（虚功等效） 移置可能在局部产生误差，但不会影响整个结构的力学特性。 2）面力的移置 3）体力的移置 2）面力的移置 3）体力的移置 5、约束处理 1）边界位移为零 2）边界位移为已知量 2）边界位移为已知量 6、求解线性方程组 9、结果显示、打印、分析 8、计算结果处理 7、计算其它物理量 位移、应力、应变 平面问题有限元法的基本思路 1）用网格将平面结构离散（三角形单元） 2）将单元位移表示成节点位移的插值函数 （是将有限节点的位移作为未知数） 3）通过单元位移表达式求解单元应变及应力 4）利用虚位移原理建立单元平衡方程 （单元刚度矩阵） 5）生成总刚度矩阵，建立总平衡方程 6）处理边界条件（力与位移） 7）计算求解节点位移 8）处理计算结果（应力和应变分布） 结构离散 单元分析 总刚集成 约束处理 载荷移置 求解线性方程组 计算其他物理量 结果处理与显示 约束处理 单元、节点 单元刚阵 [k]e 总刚矩阵 [K] 节点载荷阵列{R} 消除奇异后的总纲矩阵 节点位移{q} 位移、应力、应变 第2章 有限元法的基本原理 钱 善 华 摩擦学及表面工程研究所，先进制造研究中心 机械工程学院，江南大学 2012.09 2.1 弹性力学基础知识 弹性力学中的物理量 定义：分布于整个弹性体体积内的外力。 1、载荷 定义：作用在弹性体上的力（力矩），又称外力。 载荷可分为：体力、面力、集中力 1）体力 如：重力可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为： 2）面力 定义：集中在某一点上的外力，如：牵引力 可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为： 3）集中力 定义：作用于弹性体表面上的外力；如：流体压力 可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为： 2、应力（注意下标） 定义：弹性体内某一点作用于某个截面单位面积上 的内力，反映了内力在截面上的分布密度。 微元体表面上的应力：一个正应力 （拉压） 两个切应力 （剪切） 弹性体内某一点的应力状态由六个应力所决定 应力向量可以表示为： 切应力互等定律： 3、应变（对应于应力） 定义：微元体体发生变形后，单位长度的变形量。 对应于应力，应变向量可以表示为： 4、位移 定义：弹性体内质点位置的变化 位移向量可以表示为： 弹性力学的基本方程