第5章——控制系统的频域分析.ppt

频率特性法 控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。 频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。近来，频率法还发展到可以应用到多输入量多输出量系统，称为多变量频域控制理论。 本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。 5.1频率特性的基本概念 5.1.1频率响应 频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应。即一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。 下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概念： 在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即 ui(t)=Uisin? t时 Ui与?分别为输入为信号的振幅与角频率，可以运用时域法求电路的输出。 输出的拉氏变换为： 因此，频率特性可定义为： 线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。 频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，只与系统的结构与参数有关，是线性定常系统的固有特性。 A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。 而?（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在相位上是超前（?＞0o）还是滞后（?＜0o）。 系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面，并且强调频率ω是一个变量。 二、频率特性的表示方法 若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej???? 指数表示法 G（jω）=A(ω)∠? (ω) 幅角表示法 G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。 当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个向量去表示G（jω）。向量的长度为A(ω)，向量与正实轴之间的夹角为? (ω)，并规定逆时针方向为正，即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。可由图5.3表示。 另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即 G（jω）=R（ω）+I（ω） R（ω）称为实频特性，I（ω）称为虚频特性。由复变函数理论可知： 三、频率特性的实验求取方法 向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号 r（t）=Rsinωt 在0→∞的范围内不断改变ω的取值，并测量与每一个ω值对应的系统的稳态输出 Css（t）= A(ω)Rsin（ωt+?（ω）） 测量并记录相应的输入输出幅值比与相角差。根据所得数据绘制出幅值比与相角差随ω的变化曲线，并据此求出元件或系统的幅频特性A(ω)与相频特性?（ω）的表达式，便可求出完整的频率特性表达式。 5.1.3由传递函数求取频率特性 实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性描述系统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统的数学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转换类似，系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简单的转换得到，这种求取方法称为解析法。 系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量，对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳态分量为： 可以求出 Css(t)= A(ω)·R·sin[ωt+? (ω)] 并有 由以上可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性可由系统的传递函数G（s）将jω代替其中的s而得到。由拉氏变换可知，传递函数的复变量s =σ+jω。当σ=0时，s = jω。所以G（jω）就是σ=0时的G（s）。即当传递函数的复变量s用jω代替时