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数学模型 1.教 材：数学模型 复旦大学出版社 谭 永 基 俞 文 鱼此 （谭永基 蔡志杰 俞文鱼此） 理学院数学系 鲁习文 xwlu2008@163.com2.参考书：数学模型 清华大学出版社 姜 启 源 谢 金 星 叶 俊 一、建立数学模型 1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 1.1 从现实对象到数学模型 我们常见的模型 你碰到过的数学模型——“航行问题” 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 答：船速每小时20千米/小时. 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? x =20 y =5 求解 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 数学模型 E.A.Bender的数学模型定义： 　 数学模型是关于以部分现实世界为一定目标而作的抽象、简化的数学结构。 模型的抽象度差别 科学的依赖序关系与抽象度 抽象度降低 这种单调的依赖关系由科学领域的内涵组成所决定。 每门学科都有各自的模型， 抽象度也是依次降低。 数学 物理 化学 生物 工程技术 社会科学 抽象度低的模型易于表达； 抽象度高的模型有普遍性并能使用有力的抽象分析工具； 数学模型是抽象度最高的模型，因此有普适性(可转移性)。 建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 双向翻译 即 实践 理论 实践 六个过程：形成问题 模型假设 建立模型 求解模型 分析与检验 模型应用 数学建模 1.2 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。 数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 数学建模 计算机技术 知识经济 如虎添翼 1.3 数学建模示例 1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模型假设 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性 x B A D C O D′ C ′ B ′ A ′ 用?(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地 距离是?的函数 四个距离(四只脚) A,C 两脚与地面距离之和 ~ f(?) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g(?) 两个距离 ? 椅脚与地面距离为零 正方形ABCD 绕O点旋转 正方形对称性 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f(?) , g(?)是连续函数 对任意?, f(?), g(?)至少一个为0 数学问题 已知： f(?) , g(?)是连续函数 ;