第13章动能定理..doc
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第十三章 动能定理
动量和动量矩是描述物体作机械运动时与周围物体进行机械运动交换的物理量，动能是描述物体作机械运动时所具有的能量。这一章我们要学习物体动能的变化与作用在物体上力的功之间的关系——动能定理。
§13.1 力的功
一、常力作直线运动的功
设物体在大小和方向都不变的力作用下，沿直线运动，其位移为，力对物体所作的功为
式中力与位移间的夹角。
功是代数量，当0≤θ＜时，力作正功W12＞0；当0＜θ≤π作负功W12＜0；当时，力不作功W12=0。功的单位为焦耳（J），。
二、变力在曲线运动中的功
元功
力在全路程上作的功等于元功之和，即
用解析表达式
三、下面给出几种常见力所作的功
1、重力的功
设质点沿轨道由M1 运动到M2，如图所示。
其重力P=mg在直角坐标轴上的投影为
Fx=0， Fy=0， Fz=mg
重力作功为
可见重力作功仅与质点运动开始和末了位置的高度差（z1?z2）有关，与运动轨迹的形状无关。
2、弹性力的功
上式是计算弹性力作功的普遍公式。可见，弹性力的功只与弹簧始末位置的变形量δ有关，与力作用点A的轨迹形状无关。
3、力对轴之矩的功
在力F作用下，绕定轴转动的刚体。
力F在作用点A处的微小位移中所作的元功为
于是力F在刚体从角到转动过程中作的功为
若力对轴的矩不变，则有
4、平面运动刚体上力系的功
设有多个力作用于平面运动刚体上。取刚体的质心C为基点，当刚体有无限小位移时，任一力Fi作用点Mi的位移为
力Fi在点Mi位移上元功：
力系所作元功之和为
为力系主矢，MC为力系对质心的主矩。
刚体质心C由C1移到C2，同时刚体又由转到角度时，
可见，平面运动刚体上力系的功就等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。
§13-2 质点和质点系的动能
一、质点的动能
动能是标量，恒取正值。单位：J（焦耳）
二、质点系的动能
质点系内各点动能的代数和称为质点系的动能，即
（1）平移刚体的动能
（2）定轴转动刚体的动能
是刚体对于z轴的转动惯量。
即绕定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。
（3）平面运动刚体的动能
取刚体质心C所在的平面图形，设点P是某瞬时的瞬心，ω是平面图形转动的角速度，于是作平面运动的刚体的动能为，JP是刚体对于瞬时轴的转动惯量。
将转动惯量的平行轴定理代入，有
即作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和。
例1 图示系统是由均质圆盘A、B以及重物D组成。A、B各重P，半径均为R。圆盘A绕定轴转动，圆盘B沿水平面作纯滚动，且两圆盘中心的连线OC为水平线。重物D重为Q，在图示瞬时的速度为v。若绳的质量不计，求此时系统的动能。
解 系统中圆盘A作定轴转动，圆盘B作平面运动，重物D作平动。
圆盘A的角速度：；
圆盘B的角速度：；圆盘B质心C的速度：
重物D的动能：T1＝
圆盘A的动能：
圆盘B的动能：
此时整个系统的动能为
T＝T1＋T2＋T3＝＋＋＝
§13-3 动能定理
动能变化与作用力所作功之间的关系，即动能定理。动能定理有微分型和积分型两种。
一、质点的动能定理
质点动能定理的微分形式
积分上式得
质点动能的改变量等于作用于质点上的力作的功。
二、质点系的动能定理
对每个质点都可以列出：，
上式就是质点系动能定理的微分形式：质点系动能的变化，等于作用于质点系上所有力的元功和。
积分上式：
质点系在运动过程中，动能的改变量，等于作用于质点系的全部力所做的功的代数和。
三、理想约束
约束力做功等于零的约束称为理想约束。
（1）对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束，如光滑铰支座、固定端等约束，显然其约束反力也不做功。在理想约束条件下，质点系动能的改变只与主动力做功有关，动能定理中只需计算主动力所作的功。
（2）光滑铰链、刚性二力构件以及不可伸长的细绳等作为系统内的约束时，其单个的约束力不一定不做功，但一对约束力做功之和等于零，也都是理想约束。
（3）当轮子在固定面上只滚不滑时，接触点为瞬心，滑动摩擦力作用点没动，此时的滑动摩擦力也不做功。因此，不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点也是理想约束。
（4）必须注意的是，作用于质点系的力既有外力，也有内力，在某些情形下，内力虽然等值反向，但所做功的和并不等于零。例如，由两个相互吸引的质点M1和M2组成的质点系，两质点相互作用的力F12和F21是一对内力。内力所作的功的和一般不等于零。
（5）刚体所有
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